Sistema de control de primer orden: ¿Qué es? (Tiempo de subida, tiempo de asentamiento y función de transferencia)

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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

¿Qué es un sistema de control de primer orden?

¿Qué es un sistema de control de primer orden?

Un sistema de control de primer orden se define como un tipo de sistema de control cuya relación entrada-salida (también conocida como función de transferencia ) es una ecuación diferencial de primer orden. Una ecuación diferencial de primer orden contiene una derivada de primer orden, pero ninguna derivada mayor que la de primer orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuación.

Como ejemplo, veamos el diagrama de bloques del sistema de control que se muestra a continuación.

Diagrama de bloques del sistema de control de primer orden
(a) Diagrama de bloques de un sistema de control de primer orden; (b) Diagrama de bloques simplificado

La función de transferencia (relación entrada-salida) para este sistema de control se define como:

 begin {align *}  frac {C (s)} {R (s)} = K  frac {1} {Ts + 1}  end {align *}

Dónde:

  • K es la ganancia de CC (ganancia de CC de la relación del sistema entre la señal de entrada y el valor de estado estable de la salida)
  • T es la constante de tiempo del sistema (la constante de tiempo es una medida de la rapidez con la que un sistema de primer orden responde a una entrada de paso unitario)

Recuerde que el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuación. Evaluamos esto con respecto a s.

Dado que aquí sestá a la primera potencia ( s ^ 1 = s), la función de transferencia anterior es una ecuación diferencial de primer orden. Por tanto, el diagrama de bloques anterior representa un sistema de control de primer orden.

En un ejemplo alternativo teórico, digamos que la función de transferencia fue igual a:

 begin {align *}  frac {C (s)} {R (s)} = K  frac {1} {Ts ^ 2 + 1}  end {align *}

En este ejemplo, dado que sestá elevado a la segunda potencia ( s ^ 2), la función de transferencia es una ecuación diferencial de segundo orden. Por tanto, un sistema de control con la función de transferencia anterior sería un sistema de control de segundo orden .

La mayoría de los modelos prácticos son sistemas de primer orden. Si un sistema de orden superior tiene un modo de primer orden dominante, se puede considerar como un sistema de primer orden.

Los ingenieros tratan de encontrar técnicas para que los sistemas sean más eficientes y confiables. Hay dos métodos para controlar los sistemas. Uno es un sistema de control de bucle abierto y otro es un sistema de control de retroalimentación de bucle cerrado.

En un sistema de bucle abierto, las entradas proceden al proceso dado y producen una salida. No hay retroalimentación en el sistema para que el sistema ‘sepa’ qué tan cerca está la salida real de la salida deseada.

En un sistema de control de bucle cerrado, el sistema tiene la capacidad de verificar cuánto se desvía la salida real de la salida deseada (a medida que el tiempo se acerca al infinito, esta diferencia se conoce como error de estado estable ). Pasa esta diferencia como retroalimentación al controlador que controla el sistema. El controlador ajustará su control del sistema basándose en esta retroalimentación.

Si la entrada es un paso unitario, la salida es una respuesta de paso. La respuesta escalonada produce una visión clara de la respuesta transitoria del sistema. Tenemos dos tipos de sistemas, sistema de primer orden y sistema de segundo orden, que son representativos de muchos sistemas físicos.

El primer orden del sistema se define como la primera derivada con respecto al tiempo y el segundo orden del sistema es la segunda derivada con respecto al tiempo.

Un sistema de primer orden es un sistema que tiene un integrador. A medida que aumenta el número de pedidos, también aumenta el número de integradores en un sistema. Matemáticamente, es la primera derivada de una función dada con respecto al tiempo.

Tenemos diferentes técnicas para resolver ecuaciones del sistema usando ecuaciones diferenciales o la transformada de Laplace, pero los ingenieros han encontrado formas de minimizar la técnica de resolver ecuaciones para obtener resultados abruptos y eficiencia en el trabajo. La respuesta total del sistema es la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural.

La respuesta forzada también se denomina respuesta de estado estable o una ecuación particular. La respuesta natural también se llama ecuación homogénea.

Antes de continuar con este tema, debe conocer los conceptos de ingeniería de control de polos, ceros y función de transferencia y conceptos fundamentales de los sistemas de control de retroalimentación. Aquí, recuerde su memoria con conceptos fundamentales del sistema de control de retroalimentación.

Función de transferencia del sistema de control de primer orden

Una función de transferencia representa la relación entre la señal de salida de un sistema de control y la señal de entrada, para todos los valores de entrada posibles.

Polos de una función de transferencia

Los polos de la función de transferencia son el valor de la (s) variable (s) de la Transformada de Laplace , que hacen que la función de transferencia se vuelva infinita.

El denominador de una función de transferencia son en realidad los polos de función.

Ceros de una función de transferencia

Los ceros de la función de transferencia son los valores de la (s) variable (s) de la Transformada de Laplace, que hace que la función de transferencia se convierta en cero.

El nominador de una función de transferencia es en realidad los ceros de la función

Sistema de control de primer orden

Aquí discutimos el sistema de control de primer orden sin ceros. El sistema de control de primer orden nos dice la velocidad de la respuesta y la duración que alcanza el estado estable.

Si la entrada es un paso unitario, R (s) = 1 / s, por lo que la salida es una respuesta de paso C (s). La ecuación general del sistema de control de primer orden es , es decir, la función de transferencia.

Hay dos polos, uno es el polo de entrada en el origen s = 0 y el otro es el polo del sistema en s = -a, este polo está en el eje negativo del gráfico de polos. Podemos encontrar el polo y los ceros en MATLAB SOFTWARE usando el comando pzmap (que significa mapas de polo cero).

Ahora tomamos la transformación inversa para que la respuesta total se convierta en la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural.

Debido al polo de entrada en el origen, produce la respuesta forzada como el nombre describe por sí mismo que dando forzado al sistema por lo que produce una respuesta que es una respuesta forzada y el polo del sistema en -a produce una respuesta natural que se debe al transitorio respuesta del sistema.

Después de algunos cálculos, aquí la forma general del sistema de primer orden es C (s) = 1-e -at que es igual a la respuesta forzada que es «1» y la respuesta natural que es igual a «e -at «. Lo único que se necesita para encontrar es el parámetro «a».

Muchas técnicas, como una ecuación diferencial o la transformada de Laplace inversa , resuelven la respuesta total, pero requieren mucho tiempo y son laboriosas.

El uso de polos, ceros y algún concepto fundamental nos da la información cualitativa para resolver los problemas y debido a estos conceptos, podemos decir fácilmente la velocidad de respuesta y el tiempo de un sistema para alcanzar el punto de estado estacionario.

Describamos las tres especificaciones de rendimiento de respuesta transitoria, la constante de tiempo, el tiempo de subida y el tiempo de estabilización para un sistema de control de primer orden.

Constante de tiempo de un sistema de control de primer orden

La constante de tiempo se puede definir como el tiempo que tarda la respuesta al escalón en aumentar hasta el 63% o 0,63 de su valor final. Nos referimos a esto como t = 1 / a. Si tomamos el recíproco de la constante de tiempo, su unidad es 1 / segundo o frecuencia.

Llamamos al parámetro «a» la frecuencia exponencial. Porque la derivada de e-at es -a en t = 0. Por tanto, la constante de tiempo se considera como una especificación de respuesta transitoria para un sistema de control de primer orden .

Podemos controlar la velocidad de respuesta configurando los polos. Porque cuanto más lejos esté el polo del eje imaginario, más rápida será la respuesta transitoria. Entonces, podemos colocar polos más lejos del eje imaginario para acelerar todo el proceso.

Tiempo de subida de un sistema de control de primer orden

El tiempo de subida se define como el tiempo que tarda la forma de onda en pasar de 0,1 a 0,9 o del 10% al 90% de su valor final. Para la ecuación del tiempo de subida, colocamos 0,1 y 0,9 en la ecuación general del sistema de primer orden, respectivamente.

Para t = 0.1

Para t = 0.9

Tomando la diferencia entre 0.9 y 0.1

Aquí la ecuación del tiempo de subida. Si conocemos el parámetro de a, podemos encontrar fácilmente el tiempo de subida de cualquier sistema dado poniendo «a» en la ecuación.

Tiempo de establecimiento de un sistema de control de primer orden

El tiempo de estabilización se define como el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar y permanecer dentro del 2% de su valor final. Podemos limitar el porcentaje hasta un 5% de su valor final. Ambos porcentajes son una consideración.

La ecuación del tiempo de asentamiento viene dada por T s = 4 / a.

Al utilizar estas tres especificaciones de respuesta transitoria, podemos calcular fácilmente la respuesta al escalón de un sistema dado, por eso esta técnica cualitativa es útil para las ecuaciones de sistemas de orden.

Conclusión de los sistemas de control de primer orden

Después de aprender todo lo relacionado con el sistema de control de primer orden , llegamos a las siguientes conclusiones:

  • Un polo de la función de entrada genera la forma de la respuesta forzada. Es debido al polo en el origen que genera una función de paso en la salida.
  • Un polo de la función de transferencia genera una respuesta natural. Es el polo del sistema.
  • Un polo en el eje real genera una frecuencia exponencial de la forma e-at. Por lo tanto, cuanto más lejos esté el polo del origen, más rápido se reducirá a cero la respuesta transitoria exponencial.
  • Usando polos y ceros, podemos acelerar el rendimiento del sistema y obtener el resultado deseado.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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