▷ Cómo encontrar la ganancia de CC de una función de transferencia (ejemplos incluidos)

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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Indice de contenidos

¿Qué es una función de transferencia?
¿Qué es DC Gain?
Respuesta en el tiempo de los sistemas de primer orden
Cómo encontrar la ganancia de CC de una función de transferencia

¿Qué es una función de transferencia?

Una función de transferencia describe la relación entre la señal de salida de un sistema de control y la señal de entrada. Un diagrama de bloques es una visualización del sistema de control que utiliza bloques para representar la función de transferencia y flechas que representan las diferentes señales de entrada y salida.

La función de transferencia es una representación conveniente de un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo. Matemáticamente, la función de transferencia es una función de variables complejas

Para cualquier sistema de control, existe una entrada de referencia conocida como excitación o causa que opera a través de una función de transferencia para producir un efecto que da como resultado una salida o respuesta controlada.

Por lo tanto, la relación de causa y efecto entre la salida y la entrada está vinculada entre sí a través de una función de transferencia. En una transformada de Laplace , si la entrada está representada por y la salida está representada por .

La función de transferencia del sistema de control se define como la relación de la transformada de Laplace de la variable de salida a la transformada de Laplace de la variable de entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

$begin {align *} G (s) = frac {C (s)} {R (s)} end {align *}$

¿Qué es DC Gain?

La función de transferencia tiene muchas interpretaciones físicas útiles. La ganancia en estado estacionario de un sistema es simplemente la relación entre la salida y la entrada en estado estacionario representada por un número real entre el infinito negativo y el infinito positivo.

Cuando se estimula un sistema de control estable con una entrada escalonada, la respuesta en un estado estable alcanza un nivel constante.

El término ganancia de CC se describe como la relación de amplitud entre la respuesta del estado estable y la entrada escalonada.

La ganancia de CC es la relación entre la magnitud de la respuesta al paso de estado estable y la magnitud de la entrada del paso. El teorema del valor final demuestra que la ganancia de CC es el valor de la función de transferencia evaluada en 0 para funciones de transferencia estables.

Respuesta en el tiempo de los sistemas de primer orden

El orden de un sistema dinámico es el orden de la derivada más alta de su ecuación diferencial gobernante. Los sistemas de primer orden son los sistemas dinámicos más simples de analizar.

Para comprender el concepto de ganancia de estado estable o ganancia de CC, considere una función de transferencia general de primer orden.

$begin {align *} G (s) = frac {G (s)} {R (s)} = frac {b_ {0}} {s + a_ {0}} end {align *}$

también se puede escribir como

$begin {align *} frac {K} { tau s + 1} = frac {b_ {0}} {s + a_ {0}} end {align *}$

Aquí,

$begin {align *} a {0} = frac {1} { tau} ; ; ; ; b {0} = frac {K} { tau} end {align *}$

se llama constante de tiempo. K se llama ganancia de CC o ganancia de estado estable

Cómo encontrar la ganancia de CC de una función de transferencia

La ganancia de CC es la relación entre la salida de estado estable de un sistema y su entrada constante, es decir, el estado estable de la respuesta al escalón unitario.

Para encontrar la ganancia de CC de una función de transferencia, consideremos sistemas tanto continuos como discretos de transformación lineal inversa (LTI).

El sistema LTI continuo se da como

(1) $begin {ecuación *} G (s) = frac {Y (s)} {U (s)} end {ecuación *}$

El sistema LTI discreto se da como

(2) $begin {ecuación *} G (z) = frac {Y (z)} {U (z)} end {ecuación *}$

Utilice el teorema del valor final para calcular el estado estable de la respuesta al escalón unitario.

(3) $begin {ecuación *} L left (y_ {paso (t)} right) = G (s) frac {1} {s} end {ecuación *}$

(4) $begin {ecuación *} DC ; ; Ganancia = lim_ {t rightarrow infty} y_ {paso (t)} end {ecuación *}$

(5) $begin {ecuación *} DC ; ; Ganancia = lim_ {s rightarrow 0} s left [G (s) frac {1} {s} right] end {ecuación *}$

es estable y todos los postes se encuentran en el lado izquierdo

Por eso,

(6) $begin {ecuación *} DC ; ; Ganancia = lim_ {s rightarrow 0} s left [G (s) right] end {ecuación *}$

La fórmula del teorema del valor final utilizado para un sistema LTI continuo es

(7) $begin {ecuación *} frac {y ( infty)} {u ( infty)} = G (s) _ {s = 0} = G (0) end {ecuación *}$

La fórmula del teorema del valor final utilizado para un sistema LTI discreto es

(8) $begin {ecuación *} frac {y ( infty)} {u ( infty)} = G (z) _ {z = 1} = G (1) end {ecuación *}$

En ambos casos, si el sistema tiene una integración el resultado será .

La ganancia de CC es la relación entre la entrada de estado estable y la derivada de estado estable de la salida que se puede obtener mediante la diferenciación de la salida obtenida. Es casi lo mismo tanto para el sistema continuo como para el discreto.

Diferenciación en el dominio continuo

En el sistema continuo o dominio ‘s’, la ecuación (1) se diferencia multiplicando la ecuación por ‘s’.

(9) $begin {ecuación *} frac { dot {Y (s)}} {U (s)} = sG (s) end {ecuación *}$

¿Dónde está la transformada de Laplace de

Diferenciación en el dominio discreto

La derivada en el dominio discreto se puede obtener mediante una primera diferencia.

(10) $begin {ecuación *} dot {y (k)} = frac {y_ {k} -y_ {k-1}} {T} end {ecuación *}$

(11) $begin {ecuación *} dot {Y (z)} = frac {Y (z) -z ^ {- 1} Y (z)} {T} end {ecuación *}$

(12) $begin {ecuación *} dot {Y (z)} = Y (z) left [ frac {^ {1-z ^ {- 1}}} {T} right] end {ecuación *}$

(13) $begin {ecuación *} dot {Y (z)} = Y (z) left [ frac {z-1} {T_ {z}} right] end {ecuación *}$

Por lo tanto, para diferenciar en el dominio discreto, necesitamos multiplicar $frac {z-1} {T_ {z}}$

Ejemplos numéricos para encontrar la ganancia de CC

Ejemplo 1

Considere la función de transferencia continua,

$begin {align *} H (s) = frac {Y (s)} {U (s)} = frac {12} {(s + 2) (s + 10)} end {align *}$

Para encontrar la ganancia de CC (ganancia de estado estable) de la función de transferencia anterior, aplique el teorema del valor final

$begin {align *} lim_ {t rightarrow infty} y (t) = lim_ {s rightarrow 0} s times frac {12} {(s + 2) (s + 10)} end {alinear*}$

$begin {align *} lim_ {t rightarrow infty} y (t) = lim_ {s rightarrow 0} s times frac {12} {2 times 3} = 2 end {align *}$

Ahora, la ganancia de CC se define como la relación entre el valor de estado estable y la entrada de paso unitario aplicado.

Ganancia DC = $frac {2} {1} = 2$

Por lo tanto, es importante tener en cuenta que el concepto de ganancia de CC es aplicable solo a aquellos sistemas que son de naturaleza estable.

Ejemplo 2

Determine la ganancia de CC para la ecuación

$begin {align *} G (s) = frac {K} { tau s + 1} end {align *}$

La respuesta al escalón de la ecuación de transferencia anterior es

$begin {align *} y_ {paso} (t) = L ^ {- 1} left [ frac {K} {( tau s + 1) s} right] end {align *}$

$begin {align *} y_ {paso} (t) = L ^ {- 1} left [K left ( frac {1} {s} - frac { tau} { tau s + 1} derecha) derecha] end {alinear *}$

Ahora, aplique el teorema del valor final para encontrar la ganancia de CC.

$begin {align *} y_ {ss} = lim_ {t rightarrow infty} y_ {step} (t) = lim_ {s rightarrow 0} frac {K} {( tau s + 1) s } s = K end {align *}$

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

winaycirculo@gmail.com