Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
La técnica del lugar de las raíces en el sistema de control fue introducida por primera vez en el año 1948 por Evans. Cualquier sistema físico está representado por una función de transferencia en la forma de 
Podemos encontrar polos y ceros a partir de G (s). La ubicación de los polos y ceros es crucial para mantener la estabilidad de la vista, la estabilidad relativa, la respuesta transitoria y el análisis de errores. Cuando el sistema se pone en servicio, la inductancia parásita y la capacitancia ingresan al sistema, por lo que cambia la ubicación de los polos y ceros. En la técnica del lugar de las raíces en el sistema de control evaluaremos la posición de las raíces, su lugar de movimiento y la información asociada. Esta información se utilizará para comentar sobre el rendimiento del sistema.
Ahora, antes de presentar lo que es una técnica de lugar de raíces, es muy esencial discutir aquí algunas de las ventajas de esta técnica sobre otros criterios de estabilidad. Algunas de las ventajas de la técnica del lugar de las raíces se describen a continuación.
Indice de contenidos
Ventajas de la técnica del lugar de las raíces
- La técnica del lugar de las raíces en el sistema de control es fácil de implementar en comparación con otros métodos.
- Con la ayuda del lugar de las raíces, podemos predecir fácilmente el rendimiento de todo el sistema.
- El lugar de las raíces proporciona la mejor manera de indicar los parámetros.
Ahora bien, hay varios términos relacionados con la técnica del lugar de las raíces que usaremos con frecuencia en este artículo.
- Ecuación característica relacionada con la técnica del lugar de las raíces: 1 + G (s) H (s) = 0 se conoce como ecuación característica. Ahora, al diferenciar la ecuación característica y al igualar dk / ds igual a cero, podemos obtener puntos de ruptura.
- Puntos de ruptura: suponga que dos lugares de raíces que parten del polo y se mueven en dirección opuesta chocan entre sí de manera que después de la colisión comienzan a moverse en diferentes direcciones de forma simétrica. O los puntos de ruptura en los que ocurren múltiples raíces de la ecuación característica 1 + G (s) H (s) = 0. El valor de K es máximo en los puntos donde se desprenden las ramas de los lugares de las raíces. Los puntos de ruptura pueden ser reales, imaginarios o complejos.
- Punto de ruptura: A continuación se escribe la condición de ruptura para estar allí en la gráfica:
El lugar de las raíces debe estar presente entre dos ceros adyacentes en el eje real
.
- Centro de gravedad: también se conoce como centroide y se define como el punto en la gráfica desde donde comienzan todas las asíntotas. Matemáticamente, se calcula por la diferencia de la suma de polos y ceros en la función de transferencia cuando se divide por la diferencia del número total de polos y el número total de ceros. El centro de gravedad es siempre real y se denota por σ A .
Donde, N es el número de polos y M es el número de ceros. - Asíntotas de los lugares de las raíces: La asíntota se origina en el centro de gravedad o centroide y va hasta el infinito en algún ángulo definido. Las asíntotas proporcionan dirección al lugar de las raíces cuando parten de los puntos de ruptura.
- Ángulo de asíntotas: Las asíntotas forman un ángulo con el eje real y este ángulo se puede calcular a partir de la fórmula dada,
Donde, p = 0, 1, 2 ……. (NM-1)
N es el número total de polos
M es el número total de ceros. - Ángulo de llegada o salida: Calculamos el ángulo de salida cuando existen polos complejos en el sistema. El ángulo de salida se puede calcular como 180 – {(suma de los ángulos de un polo complejo desde los otros polos) – (suma del ángulo de un polo complejo desde los ceros)}.
- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario: Para encontrar el punto de intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario, tenemos que utilizar el criterio de Routh Hurwitz. Primero, encontramos la ecuación auxiliar, luego el valor correspondiente de K dará el valor del punto de intersección.
- Margen de ganancia: definimos el margen de ganancia por el cual el valor de diseño del factor de ganancia se puede multiplicar antes de que el sistema se vuelva inestable. Matemáticamente está dado por la fórmula
- Margen de fase: el margen de fase se puede calcular a partir de la fórmula dada:
- Simetría del lugar de las raíces: el lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje x o al eje real.
¿Cómo determinar el valor de K en cualquier punto del lugar de las raíces? Ahora hay dos formas de determinar el valor de K, cada una se describe a continuación.
- Criterios de magnitud: en cualquier punto del lugar de las raíces podemos aplicar criterios de magnitud como,
Con esta fórmula podemos calcular el valor de K en cualquier punto deseado. - Usando la gráfica del lugar de las raíces: El valor de K en cualquier s en el lugar de las raíces está dado por
Gráfico del lugar de las raíces
Esto también se conoce como técnica del lugar de las raíces en el sistema de control y se utiliza para determinar la estabilidad del sistema dado. Ahora, para determinar la estabilidad del sistema utilizando la técnica del lugar de las raíces, encontramos el rango de valores de K para los cuales el desempeño completo del sistema será satisfactorio y la operación es estable.
Ahora bien, hay algunos resultados que conviene recordar para trazar el lugar de las raíces. Estos resultados se escriben a continuación:
- Región donde existe el lugar de las raíces: después de trazar todos los polos y ceros en el plano, podemos averiguar fácilmente la región de existencia del lugar de las raíces usando una regla simple que se escribe a continuación,
solo ese segmento se considerará al hacer el lugar de las raíces si el número total de polos y ceros en el lado derecho del segmento es impar. - ¿Cómo calcular el número de lugares de raíces separados? : Un número de lugares de raíces separados es igual al número total de raíces si el número de raíces es mayor que el número de polos; de lo contrario, el número de lugares de raíces separados es igual al número total de polos si el número de raíces es mayor que el número de ceros.
Procedimiento para trazar el lugar de las raíces
Teniendo en cuenta todos estos puntos, podemos dibujar la gráfica del lugar de las raíces para cualquier tipo de sistema. Ahora analicemos el procedimiento para hacer un lugar de raíces.
- Averigüe todas las raíces y polos de la función de transferencia de bucle abierto y luego trácelas en el plano complejo.
- Todos los lugares de las raíces comienzan en los polos donde k = 0 y terminan en los ceros donde K tiende a infinito. El número de ramas que terminan en el infinito es igual a la diferencia entre el número de polos y el número de ceros de G (s) H (s).
- Encuentre la región de existencia de los lugares de raíces con el método descrito anteriormente después de encontrar los valores de M y N.
- Calcule los puntos de ruptura y los puntos de ruptura, si los hubiera.
- Grafique las asíntotas y el centroide en el plano complejo para los lugares de las raíces calculando la pendiente de las asíntotas.
- Ahora calcule el ángulo de salida y la intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario.
- Ahora determine el valor de K utilizando cualquiera de los métodos que he descrito anteriormente.
Siguiendo el procedimiento anterior, puede dibujar fácilmente la gráfica del lugar de las raíces para cualquier función de transferencia de bucle abierto.
- Calcule el margen de ganancia.
- Calcula el margen de fase.
- Puede comentar fácilmente sobre la estabilidad del sistema utilizando Routh Array.
