Técnica del lugar de las raíces en el sistema de control | Gráfico del lugar de las raíces

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Ultima edición el 21 septiembre, 2023

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta fundamental en el análisis y diseño de sistemas de control. Esta técnica tiene como objetivo determinar la estabilidad y el comportamiento dinámico del sistema a partir del análisis de la ubicación de las raíces del polinomio característico del sistema.

El gráfico del lugar de las raíces es una representación visual de las raíces del polinomio característico del sistema a medida que se varía un parámetro del sistema. Esta representación es de gran utilidad para analizar el efecto de cambios en los parámetros del sistema sobre su estabilidad y desempeño.

En esta presentación, exploraremos en detalle la técnica del lugar de las raíces y el gráfico del lugar de las raíces, y su aplicación en el análisis y diseño de sistemas de control. Veremos cómo esta técnica puede ayudarnos a comprender mejor el comportamiento de los sistemas y tomar decisiones más informadas en su diseño y optimización.

Indice de contenidos

Características del sistema de control

El sistema de control es una herramienta fundamental para garantizar el correcto funcionamiento de cualquier proceso. Este se encarga de medir, comparar y corregir el comportamiento del sistema para mantenerlo en línea con los objetivos establecidos. A continuación, se presentan algunas características que definen el sistema de control:

1. Retroalimentación

Una de las principales características del sistema de control es la retroalimentación. Esto significa que el sistema recibe información sobre el comportamiento del proceso y la compara con el objetivo deseado. En función de esta comparación, se toman medidas para corregir cualquier desviación y mantener el proceso en línea con los objetivos establecidos.

2. Acción correctiva

Otra característica importante del sistema de control es la acción correctiva. Una vez que se detecta una desviación del objetivo, el sistema debe tomar medidas para corregirla y volver a la línea base. Esto puede implicar la modificación de los parámetros del proceso, la reconfiguración del sistema o incluso la interrupción del proceso en caso de emergencia.

3. Adaptable

El sistema de control también debe ser adaptable a los cambios en el proceso. Esto significa que debe ser capaz de modificar su comportamiento en función de los cambios en el entorno, los objetivos o los requisitos del proceso. Por ejemplo, si el proceso cambia de velocidad, el sistema de control debe adaptarse para mantener el proceso en línea con los nuevos objetivos.

4. Precisión

La precisión es otra característica importante del sistema de control. El sistema debe ser capaz de medir con precisión el comportamiento del proceso y compararlo con los objetivos establecidos. Debe ser capaz de detectar desviaciones pequeñas y tomar medidas para corregirlas antes de que se conviertan en un problema mayor.

5. Estabilidad

La estabilidad es fundamental en cualquier sistema de control. El sistema debe ser capaz de mantener el proceso en línea con los objetivos de forma constante y predecible. No debe haber fluctuaciones bruscas ni cambios repentinos que puedan afectar negativamente al proceso.

6. Eficiencia

Por último, el sistema de control debe ser eficiente. Debe ser capaz de realizar su tarea de forma rápida y eficaz, minimizando el consumo de recursos y maximizando la productividad del proceso. Además, debe ser fácil de operar y mantener para garantizar su fiabilidad y durabilidad.

Para ello, debe contar con características como la retroalimentación, la acción correctiva, la adaptabilidad, la precisión, la estabilidad y la eficiencia. Estas características garantizan que el sistema de control pueda medir, comparar y corregir el comportamiento del proceso de forma constante y predecible, maximizando su productividad y minimizando los errores.

Objetivos del gráfico del lugar de las raíces

El gráfico del lugar de las raíces es una herramienta importante en la técnica del lugar de las raíces en el sistema de control. Este gráfico se utiliza para visualizar la ubicación de las raíces de la ecuación característica del sistema.

Objetivos del gráfico del lugar de las raíces:

  1. Visualizar la respuesta del sistema: El gráfico del lugar de las raíces permite visualizar cómo cambia la respuesta del sistema a medida que se varía un parámetro. Esto es útil para ajustar el sistema y lograr una respuesta deseada.
  2. Analizar la estabilidad del sistema: El gráfico del lugar de las raíces ayuda a determinar la estabilidad del sistema. Si todas las raíces de la ecuación característica se encuentran en el lado izquierdo del plano complejo, el sistema es estable. Si una o más raíces se encuentran en el lado derecho, el sistema es inestable.
  3. Evaluar la capacidad del sistema para seguir una referencia: El gráfico del lugar de las raíces también se utiliza para evaluar la capacidad del sistema para seguir una referencia. Si el sistema tiene raíces cercanas al eje imaginario, puede tener problemas para seguir cambios rápidos en la referencia.
  4. Determinar la capacidad del sistema para rechazar perturbaciones: El gráfico del lugar de las raíces también se utiliza para determinar la capacidad del sistema para rechazar perturbaciones. Si el sistema tiene raíces cercanas al eje real negativo, puede ser capaz de rechazar perturbaciones.

Permite visualizar la ubicación de las raíces de la ecuación característica del sistema y determinar su estabilidad, capacidad para seguir una referencia y capacidad para rechazar perturbaciones.

Definición de lugar de las raíces

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta utilizada en el análisis y diseño de sistemas de control. Esta técnica se basa en la ubicación de las raíces de la función de transferencia en el plano complejo, lo que permite analizar la estabilidad y la respuesta del sistema.

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¿Qué es el lugar de las raíces?

El lugar de las raíces es una representación gráfica de las raíces de la ecuación característica de un sistema de control en el plano complejo. Esta representación se utiliza para analizar la estabilidad y la respuesta del sistema a diferentes valores de ganancia y frecuencia.

¿Cómo se determina el lugar de las raíces?

El lugar de las raíces se determina trazando el camino de las raíces de la ecuación característica a medida que la ganancia del sistema se varía de cero a infinito. Para cada valor de ganancia, se calculan las raíces de la ecuación característica y se representan en el plano complejo.

El lugar de las raíces se puede obtener a partir de la función de transferencia del sistema. La ecuación característica se obtiene al igualar el denominador de la función de transferencia a cero. Por lo tanto, el lugar de las raíces se puede calcular para cualquier sistema de control que tenga una función de transferencia.

¿Para qué se utiliza el lugar de las raíces?

El lugar de las raíces se utiliza para analizar la estabilidad y la respuesta del sistema de control. Al estudiar el lugar de las raíces, se pueden obtener los siguientes datos:

  • La estabilidad del sistema: el sistema es estable si todas las raíces de la ecuación característica se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.
  • La respuesta del sistema: el lugar de las raíces permite determinar la respuesta del sistema a diferentes valores de ganancia y frecuencia.
  • La ganancia crítica del sistema: la ganancia crítica es el valor de ganancia en el que las raíces de la ecuación característica pasan por el eje imaginario.

Ejemplo de lugar de las raíces

Consideremos el sistema de control con la función de transferencia:

G(s) = K / (s(s+1)(s+2))

La ecuación característica del sistema es:

1 + K / (s(s+1)(s+2)) = 0

Al igualar el denominador a cero, se obtienen las raíces de la ecuación característica:

  • s = 0
  • s = -1
  • s = -2

El lugar de las raíces se puede trazar variando la ganancia del sistema K. La figura muestra el lugar de las raíces para este sistema:

Lugar de las raíces

En el lugar de las raíces, se pueden observar los siguientes datos:

  • El sistema es estable para cualquier valor de ganancia, ya que todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.
  • La ganancia crítica del sistema es aproximadamente 2.41, ya que las raíces pasan por el eje imaginario en ese punto.
  • La respuesta del sistema a diferentes valores de ganancia y frecuencia se puede determinar a partir del lugar de las raíces.

Esta técnica permite analizar la estabilidad y la respuesta del sistema a diferentes valores de ganancia y frecuencia, lo que facilita el diseño de controladores y la optimización del rendimiento del sistema.

Ventajas de la técnica del lugar de las raíces

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control. Esta técnica permite visualizar cómo los cambios en los parámetros del sistema afectan su estabilidad y respuesta. A continuación, se presentan algunas ventajas de utilizar la técnica del lugar de las raíces:

1. Visualización del comportamiento del sistema

La técnica del lugar de las raíces permite visualizar la respuesta del sistema en tiempo real, lo que facilita la comprensión del comportamiento del sistema. Al observar el diagrama del lugar de las raíces, es posible ver cómo los cambios en los parámetros del sistema afectan su estabilidad y respuesta.

2. Diseño de sistemas estables

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta útil en el diseño de sistemas estables. Al visualizar el diagrama del lugar de las raíces, es posible determinar los valores de los parámetros del sistema que garantizan su estabilidad. Por ejemplo, si el sistema presenta polos en el semiplano derecho, es necesario ajustar los parámetros para mover los polos al semiplano izquierdo y garantizar la estabilidad del sistema.

3. Análisis de la respuesta del sistema

La técnica del lugar de las raíces también permite analizar la respuesta del sistema a diferentes entradas. Al observar el diagrama del lugar de las raíces, es posible ver cómo los cambios en los parámetros del sistema afectan su respuesta a diferentes entradas.

4. Identificación de problemas en el sistema

La técnica del lugar de las raíces se puede utilizar para identificar problemas en el sistema. Por ejemplo, si el sistema presenta sobretensiones o oscilaciones indeseadas, es posible ajustar los parámetros del sistema para eliminar estos problemas.

5. Facilidad de implementación

La técnica del lugar de las raíces es fácil de implementar y no requiere cálculos complejos. Solo se necesita trazar el diagrama del lugar de las raíces y utilizar las herramientas adecuadas para analizar el comportamiento del sistema.

6. Compatibilidad con otras técnicas de control

La técnica del lugar de las raíces es compatible con otras técnicas de control, como el método de compensación de retroalimentación y el método de compensación de avance. Estas técnicas se pueden utilizar en conjunto para mejorar el diseño y la estabilidad del sistema de control.

Esta técnica permite visualizar el comportamiento del sistema, diseñar sistemas estables, analizar la respuesta del sistema, identificar problemas en el sistema, implementar fácilmente y ser compatible con otras técnicas de control.

Pasos para la obtención del gráfico del lugar de las raíces

La técnica del lugar de las raíces es un método para analizar y diseñar sistemas de control en ingeniería. Uno de los elementos fundamentales de esta técnica es el gráfico del lugar de las raíces, que representa el comportamiento del sistema en función de los valores de sus parámetros.

1. Identificar la función de transferencia del sistema

El primer paso para obtener el gráfico del lugar de las raíces es identificar la función de transferencia del sistema. Esta función describe la relación entre la entrada y la salida del sistema en términos matemáticos.

Por ejemplo, si estamos analizando un sistema de control de temperatura, la función de transferencia podría ser:

G(s) = (Kp + Ki/s + Kd s)/(T s^2 + 1)

Donde:

  • Kp, Ki, Kd: son los parámetros del controlador proporcional, integral y derivativo, respectivamente.
  • T: es la constante de tiempo del sistema.
  • s: es la variable compleja de Laplace.

2. Determinar las raíces de la ecuación característica

El siguiente paso es determinar las raíces de la ecuación característica del sistema. Esta ecuación se obtiene igualando a cero el denominador de la función de transferencia.

Para el ejemplo anterior, la ecuación característica sería:

T s^2 + 1 = 0

Las raíces de esta ecuación se pueden obtener resolviéndola para s:

s = ± j/√T

3. Dibujar el eje real y los puntos correspondientes a las raíces

El tercer paso es dibujar el eje real y los puntos correspondientes a las raíces de la ecuación característica en el gráfico del lugar de las raíces.

En el ejemplo anterior, los puntos correspondientes a las raíces estarían en los puntos ± j/√T del eje imaginario.

4. Determinar los ángulos y las intersecciones con el eje real

El cuarto paso es determinar los ángulos y las intersecciones del lugar de las raíces con el eje real. Estos valores se pueden obtener a partir de las raíces de la ecuación característica y de la función de transferencia del sistema.

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Por ejemplo, si la función de transferencia del sistema es:

G(s) = (Kp + Ki/s + Kd s)/(T s^2 + 1)

Los ángulos y las intersecciones se pueden obtener a partir de las siguientes fórmulas:

θ = π – arg(G(s))

σ = (Re(s) – Re(p))/K

Donde:

  • θ: es el ángulo de la línea del lugar de las raíces en un punto dado.
  • σ: es la posición del lugar de las raíces en el eje real en un punto dado.
  • p: es un polo de la función de transferencia del sistema.
  • K: es la ganancia de la función de transferencia del sistema.

5. Dibujar el lugar de las raíces completo

Finalmente, el último paso es dibujar el lugar de las raíces completo a partir de los puntos, ángulos e intersecciones obtenidos en los pasos anteriores.

El lugar de las raíces completo muestra cómo varía el comportamiento del sistema en función de los valores de sus parámetros. Por ejemplo, se puede utilizar para determinar el rango de valores de los parámetros que garantizan la estabilidad del sistema.

En resumen, los pasos para la obtención del gráfico del lugar de las raíces son:

  1. Identificar la función de transferencia del sistema.
  2. Determinar las raíces de la ecuación característica.
  3. Dibujar el eje real y los puntos correspondientes a las raíces.
  4. Determinar los ángulos y las intersecciones con el eje real.
  5. Dibujar el lugar de las raíces completo.

Aplicaciones prácticas de la técnica del lugar de las raíces

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta muy útil en el diseño y análisis de sistemas de control. Esta técnica permite analizar el comportamiento del sistema en función de los parámetros del controlador y del sistema en sí mismo. A continuación, se presentan algunas aplicaciones prácticas de la técnica del lugar de las raíces:

1. Diseño de controladores

La técnica del lugar de las raíces permite diseñar controladores que cumplan con ciertas especificaciones de desempeño, como la respuesta transitoria, la estabilidad y la robustez. Para ello, se utiliza el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para determinar si el sistema es estable o no, y se estudian las características del lugar de las raíces para ajustar los parámetros del controlador. Por ejemplo, si se desea mejorar la respuesta transitoria del sistema, se puede mover el lugar de las raíces hacia la izquierda para aumentar la velocidad de respuesta.

2. Análisis de la estabilidad del sistema

La técnica del lugar de las raíces permite analizar la estabilidad del sistema en función de los parámetros del controlador y del sistema. Por ejemplo, si se tienen dos polos en el semiplano derecho, el sistema será inestable. Al analizar el lugar de las raíces, se puede determinar si se pueden ajustar los parámetros del controlador para mover los polos hacia el semiplano izquierdo, lo cual garantiza la estabilidad del sistema.

3. Selección de parámetros del controlador

La técnica del lugar de las raíces permite seleccionar los parámetros del controlador que garanticen un desempeño adecuado del sistema. Por ejemplo, si se desea que el sistema tenga una respuesta transitoria rápida, se pueden ajustar los parámetros del controlador para que el lugar de las raíces se mueva hacia la izquierda. Por otro lado, si se desea que el sistema sea robusto a perturbaciones, se pueden ajustar los parámetros del controlador para que el lugar de las raíces se mantenga alejado de los puntos críticos del sistema.

4. Identificación de modelos del sistema

La técnica del lugar de las raíces también se puede utilizar para identificar modelos del sistema a partir de datos experimentales. Para ello, se puede ajustar el lugar de las raíces utilizando diferentes modelos del sistema y seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos experimentales.

5. Diseño de sistemas de control robustos

La técnica del lugar de las raíces permite diseñar sistemas de control robustos que sean capaces de compensar perturbaciones y variaciones en los parámetros del sistema. Para ello, se pueden utilizar técnicas de control robusto, como el control H-infinity, que utilizan el lugar de las raíces para ajustar los parámetros del controlador.

Permite diseñar controladores que cumplan con ciertas especificaciones de desempeño, analizar la estabilidad del sistema, seleccionar los parámetros del controlador, identificar modelos del sistema y diseñar sistemas de control robustos.

Interpretación del gráfico del lugar de las raíces

La Técnica del lugar de las raíces es una herramienta muy útil en el diseño de sistemas de control. Esta técnica se basa en el análisis del comportamiento de los polos y ceros de la función de transferencia del sistema en el plano complejo.

¿Qué es el gráfico del lugar de las raíces?

El gráfico del lugar de las raíces es una representación visual de la técnica del lugar de las raíces. Este gráfico muestra la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia del sistema a medida que se varía un parámetro del sistema.

Interpretación del gráfico del lugar de las raíces

Para interpretar el gráfico del lugar de las raíces, es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. Ubicación de los polos y ceros

Los polos y ceros de la función de transferencia se representan en el gráfico del lugar de las raíces como puntos en el plano complejo. La ubicación de estos puntos en el plano complejo determina el comportamiento dinámico del sistema.

2. Trayectoria del lugar de las raíces

La trayectoria del lugar de las raíces muestra cómo cambia la ubicación de los polos y ceros a medida que se varía un parámetro del sistema. Esta trayectoria comienza en los ceros de la función de transferencia y termina en los polos.

3. Estabilidad del sistema

La estabilidad del sistema se determina por la ubicación de los polos en el plano complejo. Si todos los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo, el sistema es estable. Si hay algún polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

4. Respuesta del sistema

La respuesta del sistema se determina por la ubicación de los polos en el plano complejo. Los polos que se encuentran más cercanos al eje imaginario determinan la frecuencia natural del sistema y su amortiguamiento. Si los polos están más cercanos al eje real, el sistema será más rápido, pero menos amortiguado.

Ejemplo

Supongamos que queremos analizar la estabilidad de un sistema de control con la función de transferencia:

G(s) = (s+1)(s+2) / (s+3)(s+4)

Usando la técnica del lugar de las raíces, podemos trazar el siguiente gráfico:

Gráfico del lugar de las raíces

En este gráfico, podemos observar que todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo, por lo que el sistema es estable. También podemos ver que los polos están más cercanos al eje imaginario, lo que indica que el sistema tiene una frecuencia natural baja y un alto amortiguamiento.

Conclusiones

El gráfico del lugar de las raíces es una herramienta muy útil para el análisis de sistemas de control. Este gráfico permite visualizar de manera clara la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia y su comportamiento dinámico. La interpretación del gráfico del lugar de las raíces es fundamental para el diseño y la optimización de sistemas de control.

Interpretación del gráfico del lugar de las raíces

La Técnica del lugar de las raíces es una herramienta muy útil en el diseño de sistemas de control. Esta técnica se basa en el análisis del comportamiento de los polos y ceros de la función de transferencia del sistema en el plano complejo.

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¿Qué es el gráfico del lugar de las raíces?

El gráfico del lugar de las raíces es una representación visual de la técnica del lugar de las raíces. Este gráfico muestra la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia del sistema a medida que se varía un parámetro del sistema.

Interpretación del gráfico del lugar de las raíces

Para interpretar el gráfico del lugar de las raíces, es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. Ubicación de los polos y ceros

Los polos y ceros de la función de transferencia se representan en el gráfico del lugar de las raíces como puntos en el plano complejo. La ubicación de estos puntos en el plano complejo determina el comportamiento dinámico del sistema.

2. Trayectoria del lugar de las raíces

La trayectoria del lugar de las raíces muestra cómo cambia la ubicación de los polos y ceros a medida que se varía un parámetro del sistema. Esta trayectoria comienza en los ceros de la función de transferencia y termina en los polos.

3. Estabilidad del sistema

La estabilidad del sistema se determina por la ubicación de los polos en el plano complejo. Si todos los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo, el sistema es estable. Si hay algún polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

4. Respuesta del sistema

La respuesta del sistema se determina por la ubicación de los polos en el plano complejo. Los polos que se encuentran más cercanos al eje imaginario determinan la frecuencia natural del sistema y su amortiguamiento. Si los polos están más cercanos al eje real, el sistema será más rápido, pero menos amortiguado.

Ejemplo

Supongamos que queremos analizar la estabilidad de un sistema de control con la función de transferencia:

G(s) = (s+1)(s+2) / (s+3)(s+4)

Usando la técnica del lugar de las raíces, podemos trazar el siguiente gráfico:

Gráfico del lugar de las raíces

En este gráfico, podemos observar que todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo, por lo que el sistema es estable. También podemos ver que los polos están más cercanos al eje imaginario, lo que indica que el sistema tiene una frecuencia natural baja y un alto amortiguamiento.

Conclusiones

El gráfico del lugar de las raíces es una herramienta muy útil para el análisis de sistemas de control. Este gráfico permite visualizar de manera clara la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia y su comportamiento dinámico. La interpretación del gráfico del lugar de las raíces es fundamental para el diseño y la optimización de sistemas de control.

Herramientas necesarias para la técnica del lugar de las raíces

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta útil en el sistema de control para analizar y diseñar sistemas de control. Para llevar a cabo esta técnica, es necesario contar con ciertas herramientas que se explican a continuación:

1. Función de transferencia del sistema

La función de transferencia del sistema es la relación matemática entre la entrada y la salida del sistema de control. Es necesario tener esta función para poder aplicar la técnica del lugar de las raíces. La función de transferencia se puede obtener mediante una modelización matemática del sistema o a partir de mediciones experimentales.

2. Diagrama de bloques del sistema

El diagrama de bloques del sistema muestra las interconexiones entre los diversos componentes del sistema de control. Este diagrama es útil para visualizar el comportamiento del sistema y para identificar los puntos críticos del sistema que pueden afectar su estabilidad.

3. Conocimiento de los polos y ceros del sistema

Los polos y ceros son los puntos donde la función de transferencia del sistema se anula o se hace infinita. Estos puntos tienen un impacto significativo en el comportamiento del sistema y su estabilidad. Es importante conocer los polos y ceros del sistema para poder aplicar la técnica del lugar de las raíces.

4. Gráfico del lugar de las raíces

El gráfico del lugar de las raíces es una representación gráfica de la función de transferencia del sistema en el plano complejo. Este gráfico muestra la ubicación de los polos del sistema a medida que se varía un parámetro de ajuste, como la ganancia o el coeficiente de amortiguamiento. El gráfico del lugar de las raíces es una herramienta útil para analizar la estabilidad del sistema y para diseñar controladores que mejoren su comportamiento.

5. Conocimiento de los criterios de estabilidad

Existen varios criterios de estabilidad que se pueden utilizar para analizar la estabilidad del sistema, como el criterio de Routh-Hurwitz o el criterio de Nyquist. Es importante conocer estos criterios para poder interpretar el gráfico del lugar de las raíces y determinar la estabilidad del sistema.

6. Software de simulación de sistemas de control

El software de simulación de sistemas de control, como MATLAB o Simulink, es una herramienta útil para aplicar la técnica del lugar de las raíces. Estos programas permiten simular el comportamiento del sistema y analizar su estabilidad mediante el gráfico del lugar de las raíces.

Para aplicar esta técnica, es necesario contar con herramientas como la función de transferencia del sistema, el diagrama de bloques, el conocimiento de los polos y ceros, el gráfico del lugar de las raíces, los criterios de estabilidad y el software de simulación de sistemas de control.

En conclusión, la técnica del lugar de las raíces en el sistema de control es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de sistemas de control en ingeniería. A través del gráfico del lugar de las raíces, es posible visualizar la respuesta del sistema ante diferentes parámetros y ajustarlos de manera óptima para lograr un comportamiento deseado. Además, esta técnica permite identificar las raíces del sistema y su estabilidad, lo que resulta esencial para garantizar un funcionamiento seguro y eficiente. En definitiva, el uso de la técnica del lugar de las raíces en el sistema de control es una práctica imprescindible para cualquier ingeniero o profesional relacionado con el área de control y automatización.

La técnica del lugar de las raíces es una herramienta fundamental en el diseño de sistemas de control. Permite analizar el comportamiento de un sistema en función de sus características y de los parámetros de control. Además, el gráfico del lugar de las raíces es una representación visual muy útil para comprender el comportamiento del sistema ante diferentes entradas y condiciones. En resumen, esta técnica es una herramienta valiosa para el diseño y optimización de sistemas de control en diferentes campos de aplicación.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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