Respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden

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La respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un concepto fundamental en el campo de la ingeniería de control. Se refiere a la forma en que un sistema de control responde a un cambio en la entrada o en las condiciones de operación. En términos generales, una respuesta de tiempo rápida es deseable, ya que significa que el sistema puede responder rápidamente a las perturbaciones y mantener el control de la variable de salida. Por otro lado, una respuesta de tiempo lenta puede resultar en una mala calidad del control y en una variabilidad excesiva de la variable de salida. En este artículo, se explorará en detalle los diferentes aspectos de la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden, incluyendo los tipos de respuesta, los parámetros de diseño y las estrategias de ajuste.

Análisis de respuesta transitoria

El análisis de respuesta transitoria es una herramienta fundamental para evaluar el comportamiento de un sistema de control de segundo orden. Este tipo de sistemas se caracterizan por tener dos polos en su función de transferencia, lo que significa que su respuesta temporal está influenciada por dos factores principales: la frecuencia natural del sistema y su coeficiente de amortiguamiento.

¿Qué es la respuesta transitoria?

La respuesta transitoria se refiere al comportamiento temporal de un sistema después de que se le ha aplicado una perturbación o una señal de entrada. Esta respuesta está influenciada por las características del sistema, como su frecuencia natural, su coeficiente de amortiguamiento y su ganancia.

¿Por qué es importante analizar la respuesta transitoria?

El análisis de respuesta transitoria es importante porque permite evaluar si el sistema de control es capaz de responder de manera adecuada y estable a las perturbaciones o señales de entrada. Si la respuesta transitoria es inestable o no cumple con los requerimientos de diseño, entonces es necesario ajustar los parámetros del sistema para mejorar su comportamiento.

¿Cómo se analiza la respuesta transitoria?

Existen diferentes parámetros que se utilizan para analizar la respuesta transitoria de un sistema de control de segundo orden:

  • Tiempo de subida: es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar el 90% de su valor final después de que se ha aplicado una señal de entrada.
  • Tiempo de establecimiento: es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en estabilizarse después de que se ha aplicado una señal de entrada.
  • Sobrepaso: es la cantidad por encima del valor final que alcanza la respuesta del sistema antes de estabilizarse.
  • Periodo de oscilación: es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en completar un ciclo completo de oscilación después de haber alcanzado su valor final.
  • Frecuencia natural: es la frecuencia a la que el sistema oscila de manera libre y sin amortiguamiento después de haber sido perturbado.
  • Coeficiente de amortiguamiento: es una medida de la rapidez con la que el sistema se desplaza hacia su estado estacionario después de haber sido perturbado.

Ejemplo de análisis de respuesta transitoria

Supongamos que tenemos un sistema de control de segundo orden con la siguiente función de transferencia:

G(s) = 2 / (s^2 + 4s + 5)

Para analizar su respuesta transitoria, aplicamos una señal de entrada escalón unitario y obtenemos la siguiente respuesta:

Ejemplo de respuesta transitoria

Podemos observar que la respuesta transitoria tiene un tiempo de subida de aproximadamente 1 segundo, un tiempo de establecimiento de 5 segundos, un sobrepaso del 20%, un periodo de oscilación de 6 segundos, una frecuencia natural de 1.3 rad/s y un coeficiente de amortiguamiento de 0.78.

Si estos parámetros no cumplen con los requerimientos de diseño, entonces es necesario ajustar los parámetros del sistema para mejorar su comportamiento. Por ejemplo, podríamos ajustar el coeficiente de amortiguamiento para reducir el sobrepaso y mejorar la estabilidad del sistema.

Características de estabilidad

La estabilidad es una propiedad importante en los sistemas de control, ya que afecta la respuesta del sistema y su capacidad para alcanzar el estado deseado. A continuación, se describen algunas características de estabilidad que son relevantes para el sistema de control de segundo orden:

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Punto de equilibrio estable

Un sistema de control de segundo orden es estable si su punto de equilibrio es atractivo, es decir, si cualquier perturbación en el sistema se disipa con el tiempo y el sistema regresa a su punto de equilibrio. Por ejemplo, si se tiene un sistema de control de temperatura, el punto de equilibrio sería la temperatura deseada. Un sistema estable asegura que la temperatura se mantenga en la temperatura deseada a pesar de las perturbaciones externas.

Respuesta amortiguada

Un sistema de control de segundo orden también es estable si su respuesta es amortiguada. La respuesta amortiguada significa que las oscilaciones del sistema se disipan gradualmente con el tiempo, lo que garantiza que el sistema no se vuelva inestable. Por ejemplo, si se tiene un sistema de control de velocidad, la respuesta amortiguada significa que la velocidad del motor se ajusta gradualmente a la velocidad deseada sin oscilar demasiado.

Coeficiente de amortiguamiento crítico

El coeficiente de amortiguamiento crítico es un valor límite que separa la estabilidad de la inestabilidad en un sistema de control de segundo orden. Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que el valor crítico, el sistema es inestable y las oscilaciones se amplifican con el tiempo. Si el coeficiente de amortiguamiento es mayor que el valor crítico, el sistema es estable y las oscilaciones se disipan gradualmente con el tiempo. Si el coeficiente de amortiguamiento es igual al valor crítico, el sistema es críticamente amortiguado y la respuesta es la más rápida posible sin oscilaciones.

Polos en el semiplano izquierdo del plano complejo

Los polos de un sistema de control de segundo orden deben estar ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo para garantizar la estabilidad. Si los polos están en el semiplano derecho, el sistema es inestable y las oscilaciones se amplifican con el tiempo. Por lo tanto, la ubicación de los polos es una consideración importante en el diseño de sistemas de control de segundo orden.

Un sistema de control de segundo orden es estable si su punto de equilibrio es atractivo, su respuesta es amortiguada, su coeficiente de amortiguamiento es mayor que el valor crítico y sus polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo.

Representación gráfica de la respuesta

En el análisis de la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es esencial contar con una representación gráfica clara y precisa. Esta representación gráfica nos permite visualizar cómo se comporta el sistema ante distintas condiciones y así poder ajustarlo para que su respuesta sea la óptima.

Tipos de respuesta

Antes de hablar de la representación gráfica, es importante conocer los distintos tipos de respuesta que un sistema de control de segundo orden puede presentar:

  • Sobreamortiguada: la respuesta oscila antes de estabilizarse.
  • Críticamente amortiguada: la respuesta se estabiliza sin oscilaciones.
  • Subamortiguada: la respuesta oscila y tarda en estabilizarse.
  • Sobrerregulada: la respuesta oscila y nunca llega a estabilizarse.

Diagrama de polos y ceros

El diagrama de polos y ceros es una herramienta útil para entender la respuesta de un sistema de control de segundo orden. Este diagrama muestra las raíces del polinomio característico del sistema, que determinan su comportamiento.

Si el sistema es sobreamortiguado, las raíces son números reales y negativos. Si es críticamente amortiguado, hay una raíz doble y si es subamortiguado, las raíces son números complejos conjugados con parte real negativa. Si es sobrerregulado, las raíces son números complejos conjugados con parte real positiva.

Respuesta transitoria y respuesta en estado estable

La respuesta transitoria se refiere al comportamiento del sistema desde el momento en que se aplica una entrada hasta que se estabiliza. La respuesta en estado estable se refiere al comportamiento del sistema una vez que se ha estabilizado.

La respuesta transitoria puede ser analizada a través de la función de transferencia del sistema y de la solución de la ecuación diferencial que describe su comportamiento. La respuesta en estado estable se puede analizar a través de la condición de error en estado estable.

Gráficas de la respuesta

Existen tres gráficas principales para representar la respuesta de tiempo de un sistema de control de segundo orden:

  • Gráfica de la respuesta al escalón: representa la respuesta del sistema ante un cambio brusco y constante en la entrada, como una función escalón.
  • Gráfica de la respuesta a la rampa: representa la respuesta del sistema ante un cambio constante y gradual en la entrada, como una función rampa.
  • Gráfica de la respuesta a la sinusoidal: representa la respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal.

En todas estas gráficas, se puede observar el tiempo de subida, el tiempo de establecimiento, el tiempo de pico y el valor máximo de la respuesta.

Conclusión

La representación gráfica de la respuesta de tiempo de un sistema de control de segundo orden es una herramienta fundamental para su análisis y ajuste. A través del diagrama de polos y ceros y las gráficas de la respuesta, se puede entender el comportamiento del sistema y hacer los ajustes necesarios para obtener la respuesta deseada.

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Parámetros de tiempo de segundo orden

En sistemas de control, la respuesta de tiempo es una medida de la rapidez y precisión con la que un sistema puede responder a un cambio en la entrada. En sistemas de segundo orden, existen parámetros específicos que se utilizan para describir la respuesta de tiempo del sistema.

1. Tiempo de subida (Tr)

El tiempo de subida se define como el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar el 90% del valor final después de que se ha aplicado un cambio en la entrada. El tiempo de subida es un indicador de la rapidez con la que el sistema responde al cambio.

Por lo general, un sistema de control de segundo orden se considera rápido si su tiempo de subida es inferior al 5% del tiempo de asentamiento.

2. Tiempo de asentamiento (Ts)

El tiempo de asentamiento se define como el tiempo que tarda la respuesta en estabilizarse dentro de un rango del 2% del valor final después de que se ha aplicado un cambio en la entrada. El tiempo de asentamiento es un indicador de la precisión con la que el sistema responde al cambio.

Un sistema de control de segundo orden se considera preciso si su tiempo de asentamiento es lo más corto posible.

3. Sobrepaso (Mp)

El sobrepaso se define como la diferencia entre el valor máximo de la respuesta y el valor final después de que se ha aplicado un cambio en la entrada. El sobrepaso es un indicador de la estabilidad del sistema.

Un sistema de control de segundo orden se considera estable si su sobrepaso es lo más pequeño posible.

4. Frecuencia natural (ωn)

La frecuencia natural se define como la frecuencia a la que el sistema oscilaría si se le dejara oscilar libremente sin ninguna entrada externa. La frecuencia natural es un indicador de la rigidez del sistema.

Un sistema de control de segundo orden se considera rígido si su frecuencia natural es alta.

5. Factor de amortiguamiento (ζ)

El factor de amortiguamiento se define como la relación entre la amortiguación crítica y la amortiguación real del sistema. La amortiguación crítica es la amortiguación necesaria para que el sistema no tenga sobrepaso. El factor de amortiguamiento es un indicador de la capacidad del sistema para disminuir la oscilación.

Un sistema de control de segundo orden se considera bien amortiguado si su factor de amortiguamiento es cercano a 1.

Comparación de resultados

Cuando se habla de sistemas de control de segundo orden, es importante evaluar la respuesta de tiempo del sistema. Esto se refiere a la rapidez con la que el sistema responde a una entrada o perturbación.

¿Cómo se compara la respuesta de tiempo del sistema?

Existen varias formas de comparar la respuesta de tiempo de un sistema de control de segundo orden. A continuación, se presentan algunas de las más comunes:

  • Tiempo de subida: Es el tiempo que tarda la salida del sistema en alcanzar el 90% del valor final después de una entrada escalón.
  • Tiempo de asentamiento: Es el tiempo que tarda la salida del sistema en estabilizarse dentro de un rango de error específico después de una entrada escalón.
  • Sobrepaso: Es la cantidad en porcentaje que la salida del sistema supera el valor final antes de estabilizarse después de una entrada escalón.
  • Error en estado estacionario: Es la diferencia entre el valor final de la salida del sistema y el valor deseado después de una entrada escalón.

Ejemplo de comparación de resultados

Supongamos que queremos comparar dos sistemas de control de segundo orden que tienen diferentes valores de ganancia y frecuencia natural. Para hacerlo, podemos hacer una simulación de cada sistema y medir los siguientes parámetros:

  • Sistema 1: Ganancia = 2, Frecuencia natural = 10 rad/s
  • Sistema 2: Ganancia = 4, Frecuencia natural = 5 rad/s

Después de hacer la simulación, obtenemos los siguientes resultados:

  • Tiempo de subida: Sistema 1 = 0.5 segundos, Sistema 2 = 0.8 segundos
  • Tiempo de asentamiento: Sistema 1 = 1.5 segundos, Sistema 2 = 2 segundos
  • Sobrepaso: Sistema 1 = 10%, Sistema 2 = 20%
  • Error en estado estacionario: Sistema 1 = 0.2, Sistema 2 = 0.4

En este ejemplo, podemos ver que el Sistema 1 tiene una respuesta de tiempo más rápida que el Sistema 2 en términos de tiempo de subida y tiempo de asentamiento. Además, tiene un sobrepaso menor y un error en estado estacionario menor. Por lo tanto, en este caso, el Sistema 1 sería la mejor opción.

Influencia de los parámetros de control

La respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden se ve afectada por varios parámetros de control. A continuación, se explican los más importantes:

Frecuencia natural del sistema

La frecuencia natural del sistema, también conocida como frecuencia propia o frecuencia de resonancia, es la frecuencia a la cual el sistema oscila libremente sin la influencia de una fuerza externa. Esta frecuencia está determinada por las características físicas del sistema, como su masa y rigidez.

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Si la frecuencia natural del sistema es muy alta, el sistema será más rápido en responder a los cambios en la entrada, pero será más difícil de controlar. Por otro lado, si la frecuencia natural es muy baja, el sistema será más fácil de controlar, pero será más lento en responder.

Coeficiente de amortiguamiento

El coeficiente de amortiguamiento, también conocido como factor de amortiguamiento o razón de amortiguamiento, es una medida de la cantidad de amortiguamiento en el sistema. Un sistema con un coeficiente de amortiguamiento alto tendrá una respuesta más rápida, pero también será más propenso a la oscilación. Por otro lado, un sistema con un coeficiente de amortiguamiento bajo tendrá una respuesta más lenta, pero será más estable.

Ganancia del sistema

La ganancia del sistema es la relación entre la magnitud de la señal de salida y la magnitud de la señal de entrada. Una ganancia alta puede provocar una respuesta más rápida, pero también puede hacer que el sistema sea más propenso a la oscilación. Por otro lado, una ganancia baja puede provocar una respuesta más lenta, pero también puede hacer que el sistema sea más estable.

Ejemplo

Supongamos que tenemos un sistema de control de segundo orden que controla la temperatura de un horno. Si la frecuencia natural del sistema es muy alta, el sistema será muy rápido en ajustar la temperatura, pero será más difícil de controlar y podría oscilar. Por otro lado, si la frecuencia natural es muy baja, el sistema será más fácil de controlar, pero será más lento en ajustar la temperatura.

Si el coeficiente de amortiguamiento es muy bajo, el sistema podría oscilar y ser inestable. Si el coeficiente de amortiguamiento es muy alto, el sistema será más rápido en ajustar la temperatura, pero también será más propenso a la oscilación.

Finalmente, si la ganancia del sistema es muy alta, el sistema será muy rápido en ajustar la temperatura, pero también será más propenso a la oscilación. Si la ganancia del sistema es muy baja, el sistema será más estable, pero también será más lento en ajustar la temperatura.

Es importante encontrar el equilibrio adecuado entre la velocidad de respuesta y la estabilidad para lograr un sistema de control óptimo.

En conclusión, la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un factor clave a considerar en el diseño y optimización de sistemas de control. La identificación de los parámetros relevantes y la comprensión de cómo afectan a la respuesta del sistema permiten ajustes precisos y eficientes. En conclusión, la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un tema complejo pero fundamental para mejorar la eficiencia y seguridad de los procesos industriales.

En conclusión, la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un factor clave a considerar en el diseño y optimización de sistemas de control. La identificación de los parámetros relevantes y la comprensión de cómo afectan a la respuesta del sistema permiten ajustes precisos y eficientes. En conclusión, la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un tema complejo pero fundamental para mejorar la eficiencia y seguridad de los procesos industriales.

En conclusión, la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden es un aspecto crucial en el diseño de sistemas de control. Es importante entender cómo afectan los parámetros del sistema, como la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento, a la respuesta de tiempo del sistema. Además, la elección adecuada de estos parámetros puede mejorar la estabilidad y el rendimiento del sistema de control. Por lo tanto, es fundamental tener un buen conocimiento de la respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden para garantizar un diseño eficiente y efectivo del sistema de control.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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