Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
El orden de un sistema de control está determinado por la potencia de ‘ s’ en el denominador de su función de transferencia . Si la potencia de s en el denominador de la función de transferencia de un sistema de control es 2, entonces se dice que el sistema es un sistema de control de segundo orden . La expresión general de la función de transferencia de un sistema de control de segundo orden se da como 
Aquí, ζ y ω n son la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema, respectivamente (aprenderemos sobre estos dos términos en detalle más adelante). Reordenando la fórmula anterior, la salida del sistema se da como
Tomando esto como base, analizaremos el tiempo de respuesta de un sistema de control de segundo orden. Will hará esto analizando la respuesta al escalón unitario de un sistema de control de segundo orden en el dominio de la frecuencia, antes de convertirlo en el dominio del tiempo.
Indice de contenidos
Respuesta escalonada del sistema de segundo orden
Si consideramos una función escalón unitario como la entrada del sistema, entonces la ecuación de salida del sistema se puede reescribir como
Tomando la transformada de Laplace inversa de la ecuación anterior, obtenemos
La expresión anterior de la salida c (t) se puede reescribir como
El error de la señal de respuesta viene dado por e (t) = r (t) – c (t), y por tanto.
De la expresión anterior queda claro que el error de la señal es del tipo de oscilación con una magnitud de disminución exponencial cuando ζ <1. La frecuencia de la oscilación es ω d y la constante de tiempo de la disminución exponencial es 1 / ζω n . Donde, ω d , se refiere como frecuencia amortiguada de la oscilación, y ω n es la frecuencia natural de la oscilación. El término ζ afecta mucho a esa amortiguación y, por lo tanto, este término se llama relación de amortiguación.
Habrá diferentes comportamientos de la señal de salida, dependiendo del valor de la relación de amortiguamiento y examinemos cada uno de los casos, uno por uno.
Cuando la relación de amortiguación es cero, podemos reescribir la expresión anterior de la señal de salida como 
En esta expresión, no hay un término exponencial, la respuesta de tiempo del sistema de control no está amortiguada para la función de entrada de paso unitario con una relación de amortiguación cero.
Página 137. Figura 6.4.3.
Examinemos ahora el caso en el que la razón de amortiguamiento es la unidad. 
En esta expresión de la señal de salida, no hay parte oscilante en la función de paso unitario subjetivo. Y, por lo tanto, esta respuesta de tiempo del sistema de control de segundo orden se denomina críticamente amortiguada.
Ahora examinaremos la respuesta en el tiempo de una función de entrada de paso unitario subjetivo del sistema de control de segundo orden cuando la relación de amortiguación es mayor que uno. 
Tomando la transformada de Laplace inversa de ambos lados de la ecuación anterior obtenemos, 
En la expresión anterior, hay dos constantes de tiempo. 
Para el valor de ζ comparativamente mucho mayor que uno, el efecto de una constante de tiempo más rápida en la respuesta de tiempo puede despreciarse y la expresión de respuesta de tiempo finalmente viene como 
figura 6 .4 .5 de la página 139
Respuesta de tiempo crítico de amortiguación del sistema de control
La expresión de respuesta en el tiempo de un sistema de control de segundo orden sujeto a la función de entrada de pasos unitarios se da a continuación. 
El recíproco de la constante de potencia negativa del término exponencial en la parte de error de la señal de salida es realmente responsable de la amortiguación de la respuesta de salida. Aquí en esta ecuación es ζω n . El recíproco de la constante de potencia negativa del término exponencial en la señal de error se conoce como constante de tiempo. Ya hemos examinado que cuando el valor de ζ (también conocido como relación de amortiguamiento) es menor que la unidad, la oscilación de la respuesta decae exponencialmente con una constante de tiempo 1 / ζω n . Esto se llama respuesta amortiguada.
Por otra parte. cuando ζ es mayor que la unidad, la respuesta del paso unitario dado al sistema, no exhibe parte oscilante en él. Esto se llama respuesta amortiguada. También hemos examinado la situación en la que el coeficiente de amortiguamiento es la unidad que es ζ = 1. En esa situación, el amortiguamiento de la respuesta se rige únicamente por la frecuencia natural ω n . La amortiguación real en esa condición se conoce como amortiguación crítica de la respuesta.
Como ya hemos visto en las expresiones asociadas de respuesta en el tiempo del sistema de control sujeto a la función de paso de entrada, la parte de oscilación está presente en la respuesta cuando la relación de amortiguación (ζ) es menor que uno y no está presente en la respuesta cuando la relación de amortiguación es igual a uno. Eso significa que la parte de oscilación de la respuesta simplemente desaparece cuando la relación de amortiguación se convierte en la unidad. Es por eso que el amortiguamiento de la respuesta en ζ = 1, se conoce como amortiguamiento crítico.
Más precisamente, cuando la relación de amortiguación es la unidad, la respuesta se amortigua críticamente y luego la amortiguación se conoce como amortiguación crítica. La relación entre la constante de tiempo de la amortiguación crítica y la amortiguación real se conoce como relación de amortiguación. Como la constante de tiempo de respuesta de tiempo del sistema de control es 1 / ζω n cuando ζ ≠ 1 y la constante de tiempo es 1 / ω n cuando ζ = 1.
Función de transferencia del sistema de segundo orden
La ecuación general para la función de transferencia de un sistema de control de segundo orden se da como 
Si el denominador de la expresión es cero, 
Estas dos raíces de la ecuación o estos dos valores de s representan los polos de la función de transferencia de ese sistema. La parte real de las raíces representa la amortiguación y la parte imaginaria representa la frecuencia amortiguada de la respuesta.
La ubicación de las raíces de la ecuación de características para varios valores de ζ manteniendo ω n fijo y la respuesta de tiempo correspondiente para un sistema de control de segundo orden se muestra en la figura siguiente.
Figura 8.4.7 de la página 140
Especificaciones de respuesta transitoria del sistema de control de segundo orden.
El rendimiento del sistema de control se puede expresar en el término de respuesta transitoria a una función de entrada de paso unitario porque es fácil de generar. Consideremos un sistema de control de segundo orden en el que se da una señal de entrada escalón unitario y también se considera que el sistema está inicialmente en reposo. Es decir, todas las condiciones iniciales del sistema son cero. Las características de respuesta de tiempo del sistema en condiciones de baja amortiguación se muestran a continuación.
Figura 2.17 de la página 92 del sistema de control automático del libro de Hasan.
Hay varios términos comunes en las características de respuesta transitoria y que son
- El tiempo de retardo (t d ) es el tiempo requerido para alcanzar el 50% de su valor final por una señal de respuesta de tiempo durante su primer ciclo de oscilación.
- El tiempo de subida (t r ) es el tiempo necesario para alcanzar el valor final mediante una señal de respuesta de tiempo con amortiguación insuficiente durante su primer ciclo de oscilación. Si la señal está sobre amortiguada, entonces el tiempo de subida se cuenta como el tiempo requerido por la respuesta para subir del 10% al 90% de su valor final.
- El tiempo pico (t p ) es simplemente el tiempo requerido por la respuesta para alcanzar su primer pico, es decir, el pico del primer ciclo de oscilación o primer sobreimpulso.
- El sobreimpulso máximo (M p ) es la diferencia directa entre la magnitud del pico más alto de respuesta de tiempo y la magnitud de su estado estable. El sobreimpulso máximo se expresa en términos de porcentaje del valor de estado estable de la respuesta. Como el primer pico de respuesta es normalmente de magnitud máxima, el sobreimpulso máximo es simplemente la diferencia normalizada entre el primer pico y el valor de estado estable de una respuesta.
- El tiempo de estabilización (t s ) es el tiempo necesario para que una respuesta se estabilice. Se define como el tiempo requerido por la respuesta para alcanzar y estabilizarse dentro del rango especificado de 2% a 5% de su valor final.
- El error de estado estable (e ss ) es la diferencia entre la salida real y la salida deseada en el intervalo de tiempo infinito.
Fórmula de tiempo de subida
La expresión de un sistema de control de segundo orden con amortiguación insuficiente con función de entrada de paso unitario. 
Nuevamente, según la definición, la magnitud de la señal de salida en los tiempos de Rice es 1. Es decir, c (t) = 1, por lo tanto
Fórmula de hora pico
Según la definición en el momento pico, la curva de respuesta alcanza su valor máximo. Por tanto, en ese punto, 
el sobreimpulso máximo se produce en n = 1.
Fórmula de sobreimpulso máximo
Si ponemos la expresión del tiempo pico en la expresión de la respuesta de salida c (t), obtenemos,
Fórmula del tiempo de asentamiento
Ya está definido que el tiempo de estabilización de una respuesta es el tiempo después del cual la respuesta alcanza su condición de estado estable con un valor por encima de casi el 98% de su valor final. También se observa que esta duración es aproximadamente 4 veces la constante de tiempo de una señal. Cuando la constante de tiempo de un sistema de control de segundo orden es 1 / ζ ω n , la expiración del tiempo de estabilización se puede dar como
