Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
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¿Qué es el error de estado estable?
El error de estado estable se define como la diferencia entre el valor deseado y el valor real de una salida del sistema en el límite cuando el tiempo llega al infinito (es decir, cuando la respuesta del sistema de control ha alcanzado el estado estable).
El error de estado estable es una propiedad de la respuesta de entrada / salida para un sistema lineal. En general, un buen sistema de control será uno que tenga un error de estado estable bajo.
Primero, discutiremos el error de estado estacionario en una función de transferencia de primer orden analizando su respuesta de estado estacionario . Consideremos la función de transferencia a continuación:
Esta es una función de transferencia de primer orden simple , que tiene una ganancia igual a uno y una constante de tiempo de 0,7 segundos. Tenga en cuenta que se conoce como función de transferencia de primer orden porque la ‘s’ en el denominador tiene la potencia más alta de ‘1’. Si fuera así 
, sería una función de transferencia de segundo orden.
La respuesta de esta función de transferencia a una entrada de estado estable se muestra en la Figura-1. Se puede ver que en estado estable, la salida es exactamente igual a la entrada. Por tanto, el error de estado estable es cero.
La respuesta de esta función a una entrada de rampa de unidad se muestra en la Figura-2. Se puede ver que en estado estacionario hay una diferencia entre entrada y salida. Por tanto, para una entrada de rampa unitaria, existe un error de estado estable.
Tenga en cuenta que en muchos libros de sistemas de control puede encontrar que contra la entrada de rampa, el error de estado estable de una función de transferencia de primer orden es igual a la constante de tiempo. Observando la Figura 2 anterior, podemos ver que esto es cierto. En t = 3 segundos, la entrada es 3 mientras que la salida es 2,3. Por tanto, el error de estado estable es 0,7, que es igual a la constante de tiempo para esta función de transferencia de primer orden.
Tenga en cuenta los siguientes consejos importantes:
- El error de estado estacionario es mayor si la entrada es parabólica, generalmente es menor para la entrada de rampa e incluso es menor para una entrada escalonada. Como en la explicación anterior, el error de estado estable es cero contra la entrada de escalón y 0.7 contra la entrada de rampa y se puede encontrar que es ∞ contra la entrada parabólica.
- Cabe señalar que el error de estado estable depende de la entrada, mientras que la estabilidad no depende de la entrada.
Consideremos un sistema de control de circuito cerrado con función de transferencia.
Donde los símbolos tienen su significado habitual. La estabilidad del sistema depende del denominador, es decir, ‘1 + G (s) H (s)’. ‘1 + G (s) H (s) = 0’ se llama ecuación de características. Sus raíces indican la estabilidad del sistema. El error de estado estable depende de R (s).
En un sistema de control de bucle cerrado, la señal de error se puede calcular como El 
error de estado estable se puede encontrar como e ss = 
, donde el error de estado estable es el valor de la señal de error en estado estable. A partir de esto, podemos ver que el error de estado estable depende de R (s).
- Como se mencionó anteriormente, la estabilidad depende del denominador, es decir, 1 + G (s) H (s). Aquí ‘1’ es constante, por lo tanto, la estabilidad depende de G (s) H (s), que es la parte de la ecuación que puede cambiar. Entonces, puede comprender la gráfica de Bode , la gráfica de Nyquist se dibuja con la ayuda de G (s) H (s), pero indican la estabilidad de
. - G (s) H (s) se denomina función de transferencia de bucle abierto y función de transferencia de bucle cerrado. Mediante el análisis de la función de transferencia de bucle abierto, es decir, G (s) H (s), podemos encontrar la estabilidad de una función de transferencia de bucle cerrado mediante el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist.
.Ejemplos de errores de estado estable
Error de estado estable para una entrada escalonada unitaria
Ahora, explicaremos el error de estado estable en un sistema de control de circuito cerrado con algunos ejemplos numéricos. Comenzaremos con un sistema de control con una entrada de paso unitario.
Ejemplo 1:
Considere el siguiente sistema de control (sistema-1) como se muestra en la Figura-3:
La entrada de referencia ‘R s ‘ es una entrada escalonada unitaria.
En la Figura-4 se muestran varios valores de estado estable del Sistema-1.
Se puede ver que el valor de estado estable de la señal de error es 0.5, por lo tanto, el error de estado estable es 0.5. Si el sistema es estable y varias señales son constantes, se pueden obtener varios valores de estado estable de la siguiente manera:
En la función de transferencia como 
, obtendrá la ganancia de estado estable de la función de transferencia.
Puede calcular la salida de la siguiente manera:
Recordando que 
= entrada de paso unitario = 
, podemos reorganizar esto para:
El valor de estado estable de la salida es:
Podemos utilizar el método anterior para calcular el valor de estado estable de cualquier señal. Por ejemplo:
La entrada es 
(la entrada es la entrada de pasos unitarios)
Su valor de estado estable = 
= 1.
Del mismo modo, la señal de error se puede calcular como:
El valor de estado estable de la señal de error (es decir, el error de estado estable) es:
Además, se puede ver en la Figura 4 que la diferencia entre la entrada y la salida es 0.5. Por tanto, el error de estado estable es 0,5.
Otro método para calcular el error de estado estable implica encontrar las constantes de error, de la siguiente manera:
Calcule el coeficiente de error posicional K p = 
, encontrará K p = 1, e ss = 
. Encontrarás la misma respuesta.
Si la entrada es una entrada escalonada, digamos 
(es una entrada escalonada, pero no una entrada escalonada unitaria), entonces el error de estado estable es e ss =
Si la entrada es una entrada de rampa unitaria, entonces Calcule, coeficiente de error de velocidad K v = 
, e ss =
Si la entrada es una entrada parabólica unitaria, entonces Calcule, coeficiente de error de aceleración Ka = 
, e ss = 
.
Con el análisis de las constantes de error K p , K v y K a , puede comprender cómo el error de estado estable depende de la entrada.
Error de controlador PI y estado estable
Un controlador PI (es decir, un controlador proporcional más un controlador integral) reduce el error de estado estable (e ss ), pero tiene un efecto negativo sobre la estabilidad.
Los controladores PI tienen la ventaja de reducir el error de estado estable de un sistema, mientras que tienen la desventaja de reducir la estabilidad del sistema.
Un controlador PI reduce la estabilidad. Esto significa que la amortiguación disminuye; el tiempo máximo de establecimiento y sobreoscilación aumenta debido al controlador PI; La ecuación de raíces de características (polos de la función de transferencia de bucle cerrado) en el lado izquierdo se acercará más al eje imaginario. El orden del sistema también aumenta debido al controlador PI, que tiende a reducir la estabilidad.
Considere dos ecuaciones de características, una es s 3 + s 2 + 3s + 20 = 0, otra es s 2 + 3s + 20 = 0. Solo por observación, podemos decirle que el sistema relacionado con la primera ecuación tiene menor estabilidad en comparación con la segunda ecuación. Puedes verificarlo encontrando las raíces de la ecuación. Por lo tanto, puede comprender que las ecuaciones de características de orden superior tienen menor estabilidad.
Ahora, agregaremos un controlador PI (controlador proporcional más integral) en el sistema 1 (Figura 3) y examinaremos los resultados. Después de insertar el controlador PI en el sistema-1, se muestran varios valores de estado estable en la Figura-5. Se puede ver que la salida es exactamente igual a la entrada de referencia. La ventaja del controlador PI es que minimiza el error de estado estable para que la salida intente seguir la entrada de referencia.
La función de transferencia del controlador PI se puede calcular como 
o 
Se puede hacer una pregunta que si la entrada de cualquier función de transferencia es cero, entonces su salida debe ser cero. Entonces, en el presente caso, la entrada al controlador PI es cero, pero la salida del controlador PI es un valor finito (es decir, 1). Esta explicación no se da en ningún libro de sistemas de control, por eso la explicaremos aquí:
(1) Error de Estado Estacionario no es exactamente cero, su tiende a cero, de manera similar ‘s’ no es igual a cero, se tiende a cero, así que en cualquier error de estado estable instancia es 2 x 10 -3 , al mismo tiempo, ‘s’ (particularmente estamos hablando de ‘s’ en el denominador del controlador PI) también es igual a 2 x 10 -3 , por lo tanto, la salida del controlador PI es ‘1’.
Consideremos otro sistema de control que se muestra en la Figura 6:
En este caso, podemos decir, en cualquier caso, supongamos que el error de estado estable es 2 x 10 -3 , al mismo tiempo que ‘s’ es igual a 4 × 10-3; por lo tanto, la salida del controlador PI es ‘0.5’. Significa que tanto ‘ess’ como ‘s’ tienden a cero, pero su relación es un valor finito.
En los libros del sistema de control nunca encontrará s = 0 o t = ∞; siempre encontrarás
(2) La segunda explicación es que el error en estado estacionario es cero, ‘s’ también es cero en estado estacionario. La función de transferencia del controlador PI es 
. En los libros de matemáticas, encontrará que 
no está definido, por lo que puede ser cualquier valor finito (consulte la Figura 7).
(3) La tercera explicación es que es un integrador. La entrada es cero, la integración de cero no está definida. Entonces, la salida del controlador PI puede ser cualquier valor finito.
Una diferencia básica en el sistema de control de bucle abierto y el sistema de control de bucle cerrado
En referencia a la explicación anterior, explicaremos una diferencia básica entre un sistema de control de bucle abierto y un sistema de control de bucle cerrado. Las diferencias en el sistema de control de bucle abierto y el sistema de control de bucle cerrado, se pueden encontrar en cualquier libro de sistemas de control *, pero aquí se da una diferencia básica que está relacionada con la explicación anterior y esperamos que sea de utilidad para los lectores .
Un sistema de control de bucle abierto se puede representar de la siguiente manera:
Un sistema de control de circuito cerrado (sistema de control de retroalimentación) se puede representar de la siguiente manera:
La función de transferencia de la planta es fija (la función de transferencia de la planta se puede cambiar automáticamente debido a cambios ambientales, perturbaciones, etc.). En toda nuestra discusión, hemos asumido H (s) = 1; Un operador puede controlar la función de transferencia del controlador (es decir, el parámetro del controlador tal que K p , K d , K i ), etc.
El controlador puede ser controlador proporcional (controlador P), controlador PI, controlador PD, controlador PID , controlador lógico difuso, etc. Hay dos objetivos de un controlador (i) Mantener la estabilidad, es decir, la amortiguación debe estar alrededor de 0,7-0,9, sobrepaso pico y el tiempo de estabilización debe ser bajo (ii) El error de estado estable debe ser mínimo (debe ser cero).
Pero si intentamos aumentar la amortiguación, el error de estado estable puede aumentar. Por lo tanto, el diseño del controlador debe ser tal que ambos (estabilidad y error de estado estable) estén bajo control. El diseño óptimo del controlador es un vasto tema de investigación.
Está escrito antes, el controlador PI reduce drásticamente el error de estado estable (e ss ), pero tiene un efecto negativo sobre la estabilidad.
Ahora, explicaremos una diferencia básica entre el sistema de control de bucle abierto y el sistema de control de bucle cerrado, que está relacionada con la explicación anterior.
Considere la Figura 10; es un sistema de control de bucle abierto.
Let input es una entrada de paso unitario. Entonces, el valor de estado estable de la entrada es ‘1’. Se puede calcular que el valor de salida en estado estable es ‘2’. Suponga que hay un cambio en la función de transferencia [G (s)] de la planta debido a cualquier motivo, ¿cuál será el efecto en la entrada y la salida? La respuesta es que la entrada a la planta no cambiará, la salida de la planta cambiará.
Ahora considere las Figuras 11 y 12
Ambos son sistemas de control de circuito cerrado . En la Figura 11, suponga que hay un cambio en la función de transferencia de la planta debido a cualquier motivo, ¿cuál será el efecto sobre la entrada y la salida? En este caso, la entrada a la planta cambiará, la salida de la planta permanecerá sin cambios. La salida de la planta intenta seguir la entrada de referencia.
La Figura -12 muestra las nuevas condiciones, en las que se cambian los parámetros de la planta. Puede ver que la entrada de la planta se cambia a 0,476 desde 0,5, mientras que la salida no se cambia. En ambos casos, la entrada al controlador PI es cero, las especificaciones del controlador PI son las mismas pero la salida del controlador PI es diferente.
Por lo tanto, puede comprender que en el sistema de control de bucle abierto se cambia la salida de la planta, mientras que en el sistema de control de bucle cerrado se cambia la entrada a la planta.
En los libros del sistema de control, puede encontrar la siguiente declaración:
“En caso de variación de parámetros de la función de transferencia de la planta, el sistema de control de bucle cerrado es menos sensible en comparación con el sistema de control de bucle abierto” (es decir, la variación en la salida del sistema de control de bucle cerrado es menor en comparación con el sistema de control de bucle abierto).
Esperamos que la declaración anterior sea más clara con los ejemplos que se dan en este artículo.
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* Estimados lectores de Electrical4U, tenga en cuenta que el propósito de este artículo no es reproducir los temas ya disponibles en los libros; pero nuestro objetivo es presentar varios temas complejos de Ingeniería de Control en un lenguaje sencillo con ejemplos numéricos. Esperamos que este artículo le sea útil para comprender las diversas complejidades de los controladores PI y de error de estado estable.
