Teorema del valor final en la transformada de Laplace (prueba y ejemplos)

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Ultima edición el 21 septiembre, 2023

El teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas dinámicos lineales. Este teorema permite calcular el valor final de una función en el tiempo, cuando esta función se encuentra en un estado estable. En otras palabras, este teorema nos permite conocer el valor que alcanza una función después de un tiempo suficientemente largo, una vez que el sistema ha alcanzado su equilibrio.

En este artículo, presentaremos una prueba del teorema del valor final en la transformada de Laplace, así como varios ejemplos que ilustran su aplicación en la resolución de problemas prácticos. Veremos cómo este teorema puede ser utilizado para calcular valores finales en circuitos eléctricos, sistemas mecánicos y otros sistemas dinámicos lineales. Además, discutiremos algunas de las limitaciones y restricciones asociadas con la aplicación del teorema del valor final.

Definición del teorema del valor final.

El teorema del valor final es una herramienta muy útil en el cálculo de transformadas de Laplace. Este teorema nos permite encontrar el valor final de una función en el tiempo cuando la variable independiente tiende a infinito.

Enunciado del teorema del valor final:

El teorema del valor final establece lo siguiente:

Si la función F(s) tiene todos sus polos sobre el eje Re(s) = a con a < 0, entonces limt→∞ f(t) = lims→a sF(s).

Es decir, si la función F(s) tiene todos sus polos en la región izquierda del plano complejo, entonces el límite del valor final de la función f(t) es igual al límite de la transformada de Laplace F(s) cuando la variable s tiende a la parte real del polo más cercano a la derecha.

Ejemplo de aplicación del teorema del valor final:

Supongamos que tenemos la función:

f(t) = 2e-3tsen(4t)u(t)

Donde u(t) es la función escalón unitario.

Para obtener su transformada de Laplace, aplicamos la propiedad de transformación de la función seno:

L{sen(at)} = a/(s2 + a2)

Por lo tanto:

L{f(t)} = 2/(s+3)2 + 16

Podemos observar que todos los polos de F(s) están en la región izquierda del plano complejo, por lo que podemos aplicar el teorema del valor final para encontrar el valor final de f(t):

limt→∞ f(t) = lims→-3 sF(s) = 0.05

Por lo tanto, el valor final de la función f(t) es 0.05.

Conclusión:

El teorema del valor final es una herramienta muy útil en el cálculo de transformadas de Laplace, ya que nos permite encontrar el valor final de una función en el tiempo cuando la variable independiente tiende a infinito. Es importante recordar que este teorema solo se aplica a funciones cuyos polos están en la región izquierda del plano complejo.

Aplicación de la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una herramienta matemática fundamental en la resolución de ecuaciones diferenciales. Su aplicación permite transformar una función temporal en una función compleja de la frecuencia y, de esta manera, facilitar la resolución de problemas en el dominio de la frecuencia.

Uno de los teoremas más importantes en la transformada de Laplace es el Teorema del valor final, el cual se utiliza para calcular el valor de una función en el infinito, es decir, cuando el tiempo tiende a infinito. Este teorema es muy útil en la resolución de sistemas dinámicos y en la respuesta transitoria de los mismos.

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Teorema del valor final en la transformada de Laplace

El Teorema del valor final establece que si una función f(t) es causal y tiene una transformada de Laplace F(s), entonces:

limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)

Es decir, el valor final de f(t) es igual al límite de sF(s) cuando s tiende a cero. Esta igualdad se cumple siempre y cuando la función f(t) sea causal, lo que significa que su respuesta sólo depende del pasado y no del futuro.

Prueba del Teorema del valor final

Para demostrar el Teorema del valor final, primero se debe obtener la expresión de la transformada de Laplace de la función f(t), es decir, F(s). Luego, se debe calcular el límite de sF(s) cuando s tiende a cero.

Supongamos que f(t) es una función causal y su transformada de Laplace es F(s). Entonces, se tiene que:

f(t) = L-1{F(s)}

Si se multiplica la transformada de Laplace F(s) por s y se aplica la propiedad de la transformada de Laplace de la derivada, se obtiene:

sF(s) = L{f'(t)}

Donde f'(t) es la derivada de f(t) con respecto al tiempo. Si se aplica el Teorema de la integral de Laplace, se tiene que:

limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s) – lims→0 sF(s) e-εs

Donde ε es un número pequeño positivo. El segundo término de la ecuación tiende a cero cuando ε tiende a cero, debido a que e-εs tiende a cero para valores grandes de s. Por lo tanto, se tiene que:

limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)

Y así se demuestra que el Teorema del valor final es válido para funciones causales con transformada de Laplace F(s).

Ejemplos de aplicación del Teorema del valor final

Un ejemplo de aplicación del Teorema del valor final es el cálculo del valor final de una función exponencial:

f(t) = e-at u(t)

Donde u(t) es la función escalón unitario y a es una constante positiva. La transformada de Laplace de esta función es:

F(s) = 1 / (s + a)

Para calcular el valor final de f(t), se utiliza el Teorema del valor final y se tiene que:

limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s) = lims→0 s / (s + a) = 0

Por lo tanto, el valor final de la función exponencial es cero.

Otro ejemplo de aplicación del Teorema del valor final es el cálculo del valor final de una función pulso rectangular:

f(t) = u(t) – u(t – T)

Donde T es una constante positiva. La transformada de Laplace de esta función es:

F(s) = 1 / s – e-Ts / s

Para calcular el valor final de f(t), se utiliza el Teorema del valor final y se tiene que:

limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s) = lims→0 (1 – e-Ts) / s = 1

Por lo tanto, el valor final de

Prueba del teorema del valor final.

El teorema del valor final en la transformada de Laplace establece que el valor de una función en un punto específico del tiempo se puede determinar al calcular la transformada inversa de Laplace de su función de transferencia y evaluarla en s=0. Para probar este teorema, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Obtener la función de transferencia de la señal en cuestión.

La función de transferencia es la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada. Se puede obtener a partir de la ecuación diferencial que describe el sistema o a partir de la respuesta al impulso del sistema.

2. Calcular la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia.

La transformada inversa de Laplace de la función de transferencia se puede calcular utilizando técnicas de fracciones parciales o utilizando tablas de transformadas inversas. El resultado será una función en el dominio del tiempo.

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3. Evaluar la función resultante en s=0.

Una vez que se tiene la función en el dominio del tiempo, se evalúa en s=0 para obtener el valor de la función en un punto específico del tiempo.

Por ejemplo, si se tiene una función de transferencia H(s) = (s+2)/(s^2+5s+6), se puede calcular la transformada inversa de Laplace utilizando fracciones parciales:

H(s) = (s+2)/(s+3)(s+2)

H(s) = A/(s+3) + B/(s+2)

H(s) = (A(s+2) + B(s+3))/(s+3)(s+2)

Resolviendo para A y B:

A = 1

B = -1

Por lo tanto, la transformada inversa de Laplace de H(s) es:

h(t) = e^(-3t) – e^(-2t)

Finalmente, para evaluar la función en t=0:

h(0) = e^0 – e^0 = 1 – 1 = 0

Por lo tanto, el valor de la función en t=0 es 0.

Conclusión

La prueba del teorema del valor final en la transformada de Laplace es un proceso sencillo que permite determinar el valor de una función en un punto específico del tiempo. Este teorema es útil en el diseño y análisis de sistemas de control, especialmente en la determinación de la respuesta transitoria y de estado estable de un sistema.

Ejemplos de aplicación del teorema del valor final.

El teorema del valor final es una herramienta muy útil en la transformada de Laplace que permite calcular el valor de una función en un punto específico sin necesidad de conocer su expresión analítica completa. Este teorema establece que el valor final de una función en el tiempo es igual al límite de su transformada de Laplace cuando s tiende a cero. A continuación, presentamos algunos ejemplos de su aplicación:

Ejemplo 1

Calcular el valor final de la función:

f(t) = 2 + 3e^(-4t) – 4e^(-t)

Para aplicar el teorema del valor final, primero debemos obtener la transformada de Laplace de la función:

F(s) = 2/s + 3/(s+4) + 4/(s+1)

Luego, calculamos el límite de F(s) cuando s tiende a cero:

lim s->0 F(s) = lim s->0 (2/s + 3/(s+4) + 4/(s+1)) = 2/0 + 3/4 + 4/1 = ∞

Por lo tanto, el valor final de la función es infinito.

Ejemplo 2

Calcular el valor final de la función:

f(t) = 5t^2 – 3t + 2

Primero, obtenemos la transformada de Laplace de la función:

F(s) = 10/s^3 – 3/s^2 + 2/s

Luego, calculamos el límite de F(s) cuando s tiende a cero:

lim s->0 F(s) = lim s->0 (10/s^3 – 3/s^2 + 2/s) = ∞

En este caso, el valor final de la función también es infinito.

Ejemplo 3

Calcular el valor final de la función:

f(t) = 2e^(-3t) cos(4t)

Primero, obtenemos la transformada de Laplace de la función:

F(s) = 2/(s+3)^2 + 16/(s+3)^2 + s/(s^2 + 16)

Luego, calculamos el límite de F(s) cuando s tiende a cero:

lim s->0 F(s) = lim s->0 (2/(s+3)^2 + 16/(s+3)^2 + s/(s^2 + 16)) = 2/9 + 16/9 + 0 = 2

Por lo tanto, el valor final de la función es 2.

Ejemplo 4

Calcular el valor final de la función:

f(t) = t^3 + t^2 + t + 1

Primero, obtenemos la transformada de Laplace de la función:

F(s) = 6/s^4 + 2/s^3 + 1/s^2 + 1/s

Luego, calculamos el límite de F(s) cuando s tiende a cero:

lim s->0 F(s) = lim s->0 (6/s^4 + 2/s^3 + 1/s^2 + 1/s) = ∞

En este caso, el valor final de la función también es infinito.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que en algunos casos el valor final puede ser infinito.

Interpretación del resultado.

Una vez que se ha aplicado el Teorema del valor final en la transformada de Laplace, se obtiene un resultado que puede ser interpretado de varias formas. A continuación, se detallan algunos puntos importantes para interpretar correctamente el resultado:

1. Identificación de la función.

Es fundamental identificar la función obtenida a partir de la transformada inversa de Laplace. Para ello, se puede recurrir a tablas de transformadas inversas o aplicar técnicas de fracciones parciales y/o residuos.

2. Significado físico.

En muchos casos, el resultado obtenido tiene un significado físico importante. Por ejemplo, en el caso de un circuito eléctrico, el resultado puede indicar la respuesta del circuito a una señal de entrada.

3. Comportamiento a largo plazo.

El Teorema del valor final en la transformada de Laplace se aplica cuando la función en cuestión converge a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto, el resultado obtenido indica el comportamiento a largo plazo de la función.

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4. Valor final.

El resultado obtenido mediante el Teorema del valor final en la transformada de Laplace es precisamente el valor final de la función. Es decir, el valor que toma la función cuando el tiempo tiende a infinito.

5. Ejemplo.

Supongamos que se tiene la función F(s) = (s+2)/(s^2+4s+13). Aplicando el Teorema del valor final, se obtiene:

lim_{ttoinfty} f(t) = lim_{sto 0} s F(s) = 2/13

Es decir, el valor final de la función es 2/13. Este resultado puede tener diferentes interpretaciones según el contexto en el que se esté trabajando.

En conclusión, el teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta muy útil en la resolución de problemas de ingeniería y ciencias aplicadas, ya que permite determinar el valor de una función en un tiempo infinito, a partir de su transformada de Laplace. Además, su aplicación es sencilla y se puede utilizar en una gran variedad de situaciones, como por ejemplo en el análisis de sistemas de control, circuitos eléctricos y mecánicos, entre otros. En este artículo hemos visto su demostración matemática y algunos ejemplos prácticos, esperando haber aclarado su uso y su importancia en el campo de la ingeniería.

En conclusión, el teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta útil para calcular el valor de una función en un punto específico a partir de su transformada de Laplace. La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada y la aplicación del límite en la variable s.

Este teorema se aplica en diversas áreas de las matemáticas y la ingeniería, como en la teoría de control y en el análisis de sistemas dinámicos. Algunos ejemplos de su uso incluyen la determinación de la estabilidad de un sistema y la respuesta transitoria de un circuito eléctrico.

En resumen, el teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta esencial para la resolución de problemas en diversas disciplinas, y su correcta aplicación puede llevar a soluciones precisas y eficientes.

En conclusión, el teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta útil para calcular el valor de una función en un punto específico a partir de su transformada de Laplace. La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada y la aplicación del límite en la variable s.

Este teorema se aplica en diversas áreas de las matemáticas y la ingeniería, como en la teoría de control y en el análisis de sistemas dinámicos. Algunos ejemplos de su uso incluyen la determinación de la estabilidad de un sistema y la respuesta transitoria de un circuito eléctrico.

En resumen, el teorema del valor final en la transformada de Laplace es una herramienta esencial para la resolución de problemas en diversas disciplinas, y su correcta aplicación puede llevar a soluciones precisas y eficientes.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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