Ultima edición el 30 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
La transformación de Laplace es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales. Aquí la ecuación diferencial de la forma del dominio del tiempo se transforma primero en una ecuación algebraica de la forma del dominio de la frecuencia. Después de resolver la ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia, el resultado finalmente se transforma a la forma del dominio del tiempo para lograr la solución final de la ecuación diferencial. En otras palabras, se puede decir que la transformación de Laplace no es más que un método abreviado para resolver la ecuación diferencial.
En este artículo, discutiremos las transformadas de Laplace y cómo se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales. También proporcionan un método para formar una función de transferencia para un sistema de entrada-salida, pero esto no se discutirá aquí. Proporcionan los bloques de construcción básicos para la ingeniería de control, utilizando diagramas de bloques, etc.
Ya existen muchos tipos de transformaciones, pero las transformadas de Laplace y las transformadas de Fourier son las más conocidas. Las transformadas de Laplace se utilizan generalmente para simplificar una ecuación diferencial en un problema de álgebra simple y resoluble. Incluso cuando el álgebra se vuelve un poco compleja, sigue siendo más fácil de resolver que resolver una ecuación diferencial.
Indice de contenidos
- Tabla de transformación de Laplace
- Definición de la transformada de Laplace
- Desventajas del método de transformación de Laplace
- Historia de las transformadas de Laplace
- Método de la transformada de Laplace
- Propiedades de la transformada de Laplace
- Ejemplos de transformada de Laplace
- ¿Dónde se utilizan las transformadas de Laplace en la vida real?
Tabla de transformación de Laplace
Siempre hay una tabla disponible para el ingeniero que contiene información sobre las transformadas de Laplace. A continuación se muestra un ejemplo de la tabla de transformación de Laplace . Llegaremos a conocer la transformada de Laplace de varias funciones comunes de la siguiente tabla.
Definición de la transformada de Laplace
Al aprender la transformada de Laplace, es importante comprender no solo las tablas, sino también la fórmula.
Para entender la fórmula de la transformada de Laplace: Primero sea f (t) la función de t, tiempo para todo t ≥ 0
Entonces, la transformada de Laplace de f (t), F (s) se puede definir como 
Siempre que exista la integral. Donde el operador de Laplace, s = σ + jω; será real o complejo j = √ (-1)
Desventajas del método de transformación de Laplace
Las transformadas de Laplace solo se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales complejas y, como todos los grandes métodos, tiene una desventaja, que puede no parecer tan grande. Es decir, solo puede usar este método para resolver ecuaciones diferenciales CON constantes conocidas. Si tiene una ecuación sin las constantes conocidas, entonces este método es inútil y tendrá que encontrar otro método.
Historia de las transformadas de Laplace
La transformación en matemáticas se ocupa de la conversión de una función en otra función que puede no estar en el mismo dominio. El método de transformación encuentra su aplicación en aquellos problemas que no se pueden resolver directamente. Esta transformación lleva el nombre del matemático y astrónomo de renombre Pierre Simon Laplace que vivió en Francia.
Usó una transformada similar en sus adiciones a la teoría de la probabilidad. Se hizo popular después de la Segunda Guerra Mundial. Esta transformación fue popularizada por Oliver Heaviside, un ingeniero eléctrico inglés. Otros científicos famosos como Niels Abel, Mathias Lerch y Thomas Bromwich lo utilizaron en el siglo XIX.
La historia completa de las transformadas de Laplace se puede rastrear un poco más al pasado, más específicamente a 1744. Aquí es cuando otro gran matemático llamado Leonhard Euler estaba investigando sobre otros tipos de integrales. Euler, sin embargo, no lo siguió muy lejos y lo dejó. Un admirador de Euler llamado Joseph Lagrange; hizo algunas modificaciones al trabajo de Euler y siguió trabajando. El trabajo de LaGrange llamó la atención de Laplace 38 años después, en 1782, donde continuó retomando donde lo dejó Euler. Pero no fue 3 años después; en 1785, donde Laplace tuvo un golpe de genialidad y cambió para siempre la forma en que resolvemos las ecuaciones diferenciales. Continuó trabajando en él y continuó desbloqueando el verdadero poder de la transformación de Laplace hasta 1809, donde comenzó a usar el infinito como una condición integral.
Método de la transformada de Laplace
La transformación de Laplace es una parte importante de la ingeniería del sistema de control. Para estudiar o analizar un sistema de control, tenemos que realizar la transformada de Laplace de las diferentes funciones (función del tiempo). Laplace inversa también es una herramienta esencial para encontrar la función f (t) a partir de su forma de Laplace. Tanto la transformada inversa de Laplace como la transformada de Laplace tienen ciertas propiedades en el análisis de sistemas de control dinámico. Las transformadas de Laplace tienen varias propiedades para sistemas lineales. Las diferentes propiedades son:
Linealidad, diferenciación, integración, multiplicación, cambio de frecuencia, escalado de tiempo, desplazamiento de tiempo, convolución, conjugación, función periódica. Hay dos teoremas muy importantes asociados con los sistemas de control. Estos son :
- Teorema del valor inicial (IVT)
- Teorema del valor final (FVT)
La transformada de Laplace se realiza en una serie de funciones, que son: impulso, impulso unitario, paso, paso unitario, paso unitario desplazado, rampa, decaimiento exponencial, seno, coseno, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, logaritmo natural, función de Bessel. Pero la mayor ventaja de aplicar la transformada de Laplace es resolver fácilmente ecuaciones diferenciales de orden superior convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas.
Hay ciertos pasos que deben seguirse para realizar una transformada de Laplace de una función de tiempo. Para transformar una función dada del tiempo f (t) en su correspondiente transformada de Laplace, tenemos que seguir los siguientes pasos:
- Primero multiplique f (t) por e -st , siendo s un número complejo (s = σ + j ω).
- Integre este producto con el tiempo con límites como cero e infinito. Esta integración da como resultado la transformación de Laplace de f (t), que se denota por F (s).
La función de tiempo f (t) se obtiene a partir de la transformada de Laplace mediante un proceso llamado transformación inversa de Laplace y se denota por £ -1
Propiedades de la transformada de Laplace
Las principales propiedades de la transformada de Laplace se pueden resumir de la siguiente manera:
Linealidad: Sean C 1 , C 2 constantes. f (t), g (t) sean las funciones del tiempo, t, luego 
Teorema del primer desplazamiento: 
Propiedad del cambio de escala: 
Diferenciación: 
Integración: 
Desplazamiento en el tiempo:
Si L {f (t)} = F (s), entonces el Transformada de Laplace de f (t) después del retardo de tiempo, T es igual al producto de la transformada de Laplace de f (t) y e -st que es 
Donde, u (tT) denota función escalón unitario.
Producto:
Si L {f (t)} = F (s), entonces el producto de dos funciones, f 1 (t) yf 2 (t) es el 
Teorema del valor final:
Este teorema es aplicable en el análisis y diseño de un sistema de control de retroalimentación, ya que la transformada de Laplace da una solución en las condiciones
iniciales Teorema del valor inicial:
Examinemos los métodos de transformación de Laplace de una función simple f (t) = e αt para comprender mejor el asunto. 
Comparando la solución anterior, podemos escribir, 
De manera similar, poniendo α = 0, obtenemos, 
De manera similar, poniendo α = jω, obtenemos, 
Y así, 
Examinemos otro ejemplo de los métodos de transformación de Laplace para la función 
Nuevamente la transformación de Laplace La forma de e t es, 
Esta forma de Laplace se puede reescribir como 
Ahora a partir de la definición de serie de potencias obtenemos,
Ejemplos de transformada de Laplace
Resuelva la ecuación usando transformadas de Laplace . 
Usando la tabla anterior, la ecuación se puede convertir a la forma de Laplace: 
Usando los datos que se han dado en la pregunta, la forma de Laplace se puede simplificar. 
Dividir entre (s 2 + 3s + 2) da 
Esto se puede resolver usando fracciones parciales, que es más fácil que resolverlo en su forma anterior. En primer lugar, es necesario factorizar el denominador. 
La multiplicación cruzada da: 
A continuación, se deben encontrar los coeficientes A y B. 
Sustituir en la ecuación: 
Luego, utilizando la tabla que se proporcionó anteriormente, esa ecuación se puede convertir de nuevo a su forma normal.
Ejemplos para probar usted mismo
Calcule y escriba la transformación inversa de Laplace de lo siguiente, se recomienda encontrar una tabla con las conversiones de Laplace en línea: 
Soluciones:
Profundicemos un poco más en algunos ejemplos de transformadas de Laplace trabajadas:
1) Donde, F (s) es la forma de Laplace de una función en el dominio del tiempo f (t). Encuentre la expiración de f (t). 
Solución
Ahora, la transformación de Laplace inversa de F (s) es
2) Encuentre la función de transformación de Laplace inversa de la 
solución
Ahora, por lo 
tanto,
3) Resuelva la ecuación diferencial 
Solución
Como sabemos que, la transformación de Laplace de
4) Resuelva la ecuación diferencial, 
Solución
Como sabemos que,
5) Para el circuito a continuación, calcule la corriente de carga inicial del capacitor usando la técnica de Transformada de Laplace.
Solución
La figura anterior se puede volver a dibujar en forma de Laplace, 
Ahora, la corriente de carga inicial,
6) Resuelva el circuito eléctrico utilizando la transformación de Laplace para la corriente final de estado estable
Solución
El circuito anterior se puede analizar usando la Ley de voltaje de Kirchhoff y luego obtenemos 
El valor final de la corriente de estado estable es
7) Un sistema está representado por la relación 
Donde, R (s) es la forma de Laplace de la función escalón unitario. Encuentre el valor de x (t) en t → ∞.
Como R (s) es la forma de Laplace de la función de paso unitario, se puede escribir como
Solución
8) Encuentre f (t), f ‘ (t) y f “ (t) para una función en el dominio del tiempo f (t). La forma de transformación de Laplace de la función se da como 
Al aplicar el teorema del valor inicial, obtenemos, 
Aplicando el teorema del valor inicial, obtenemos,
9) La transformada de Laplace de f (t) viene dada por, 
Encuentre el valor final de la ecuación usando el teorema del valor final así como el método convencional para encontrar el valor final.
Solución
Por lo tanto, se demuestra que a partir de ambos métodos, el valor final de la función se vuelve el mismo.
10) Encuentre la transformación inversa de Laplace de la función, la 
solución
F (s) se puede reescribir como,
11) Encuentre la transformación inversa de Laplace de la 
solución
F (s) se puede reescribir como,
12) Encuentre la transformación inversa de Laplace de la 
solución
F (s) se puede reescribir como,
13) Exprese la ecuación diferencial en la forma de transformación de Laplace 
Solución
14) Exprese la ecuación diferencial en la forma de transformación de Laplace 
Solución
¿Dónde se utilizan las transformadas de Laplace en la vida real?
La Transformada de Laplace se deriva de la Ley de Cancelación de Lerch. En el método de la Transformada de Laplace, la función en el dominio del tiempo se transforma en una función de Laplace en el dominio de la frecuencia. Esta función de Laplace tendrá la forma de una ecuación algebraica y se puede resolver fácilmente. La solución se puede volver a transformar de nuevo al dominio del tiempo utilizando una Transformada de Laplace Inversa.
Esta transformación se usa más comúnmente para sistemas de control, como se mencionó brevemente anteriormente. Las transformadas se utilizan para estudiar y analizar sistemas como la ventilación, la calefacción y las condiciones del aire, etc. Estos sistemas se utilizan en todas las construcciones y edificios de hoy en día.
Las transformadas de Laplace también son importantes para los controles de procesos. Ayuda en el análisis de variables que, cuando se modifican, producen los resultados requeridos. Un ejemplo de esto se puede encontrar en experimentos relacionados con el calor.
Aparte de estos dos ejemplos, las transformadas de Laplace se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería y es un método muy útil. Es útil tanto en ingeniería electrónica como mecánica.
La acción de control de un sistema de control dinámico, ya sea eléctrico, mecánico, térmico, hidráulico, etc., se puede representar mediante una ecuación diferencial. La ecuación diferencial del sistema se deriva de acuerdo con las leyes físicas que gobiernan un sistema. Para facilitar la solución de una ecuación diferencial que describe un sistema de control, la ecuación se transforma a una forma algebraica. Esta transformación se realiza con la ayuda de la técnica de transformación de Laplace , es decir, la ecuación diferencial en el dominio del tiempo se convierte en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia.
Una analogía interesante que puede ayudar a comprender a Laplace es la siguiente. Imagina que te encuentras con un poema en inglés que no entiendes. Sin embargo, tienes un amigo español que es excelente para dar sentido a estos poemas. Así que traduces este poema al español y se lo envías, él a su vez te explica este poema en español y te lo envía. Comprende la explicación en español y luego puede transferir el significado del poema al inglés y así entender el poema en inglés.
