Tabla de transformación de Laplace, fórmula, ejemplos y propiedades

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Ultima edición el 21 septiembre, 2023

La transformada de Laplace es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La tabla de transformación de Laplace es una herramienta útil para convertir una función del dominio del tiempo a su equivalente en el dominio de Laplace. Esta tabla contiene una lista de funciones comunes junto con sus transformadas de Laplace correspondientes.

En esta ocasión, presentaremos la tabla de transformación de Laplace, sus fórmulas, ejemplos y propiedades. Comenzaremos explicando la definición y el concepto detrás de la transformada de Laplace y cómo podemos utilizarla para resolver problemas en ingeniería y ciencias aplicadas. Luego, nos centraremos en la tabla de transformación de Laplace, que es una herramienta esencial para convertir funciones complejas en el dominio del tiempo a su equivalente en el dominio de Laplace.

Además, exploraremos las diferentes propiedades de la transformada de Laplace, como su linealidad, propiedad de cambio en el tiempo, propiedad de convolución y propiedad de derivación e integración. También proporcionaremos una serie de ejemplos para ilustrar cómo podemos utilizar la tabla de transformación de Laplace y sus propiedades para resolver problemas prácticos.

Con su ayuda, podemos convertir funciones complejas del dominio del tiempo a su equivalente en el dominio de Laplace y utilizar las propiedades de la transformada de Laplace para resolver problemas prácticos de manera más eficiente y efectiva.

Concepto general de la tabla de transformación de Laplace

La tabla de transformación de Laplace es una herramienta matemática utilizada en el cálculo de la transformada de Laplace. Esta tabla contiene una lista completa de las funciones comunes y sus correspondientes transformadas de Laplace.

Fórmula de la transformada de Laplace

Antes de profundizar en la tabla de transformación de Laplace, es importante comprender la fórmula de la transformada de Laplace. La fórmula general para la transformada de Laplace de una función f(t) es:

L[f(t)] = F(s) = ∫0 e-st f(t) dt

Donde:

  • L[ ] representa la transformada de Laplace
  • f(t) es la función original en el dominio del tiempo
  • s es un número complejo llamado parámetro de Laplace
  • F(s) es la función transformada en el dominio de Laplace

Tabla de transformación de Laplace

La tabla de transformación de Laplace es una lista de funciones comunes y sus correspondientes transformadas de Laplace. Estas funciones pueden ser utilizadas para calcular la transformada de Laplace de una función desconocida utilizando la fórmula anterior.

Algunas de las funciones más comunes incluidas en la tabla de transformación de Laplace son:

  • Funciones exponenciales
  • Funciones trigonométricas
  • Funciones polinómicas
  • Funciones impulso
  • Funciones escalón
  • Funciones de valor absoluto

Ejemplos de uso de la tabla de transformación de Laplace

Veamos algunos ejemplos de cómo se utiliza la tabla de transformación de Laplace:

Ejemplo 1: Calcular la transformada de Laplace de la función f(t) = e2t

Utilizando la fórmula de la transformada de Laplace y la tabla de transformación de Laplace, podemos encontrar la transformada de Laplace de la función f(t) = e2t de la siguiente manera:

L[e2t] = 1/(s-2)

Ejemplo 2: Calcular la transformada de Laplace de la función f(t) = cos(3t)

Utilizando la fórmula de la transformada de Laplace y la tabla de transformación de Laplace, podemos encontrar la transformada de Laplace de la función f(t) = cos(3t) de la siguiente manera:

L[cos(3t)] = s/(s2+9)

Propiedades de la transformada de Laplace

Además de la tabla de transformación de Laplace, existen varias propiedades que facilitan el cálculo de la transformada de Laplace de funciones más complicadas. Algunas de estas propiedades incluyen:

  • Linealidad
  • Desplazamiento en el tiempo
  • Multiplicación por una constante
  • Derivación en el tiempo
  • Integración en el tiempo

Estas propiedades pueden ser utilizadas en conjunto con la tabla de transformación de Laplace para calcular la transformada de Laplace de funciones más complicadas.

Conclusión

La tabla de transformación de Laplace es una herramienta esencial en el cálculo de la transformada de Laplace. Contiene una lista completa de las funciones comunes y sus correspondientes transformadas de Laplace. Junto con la fórmula y las propiedades de la transformada de Laplace, la tabla de transformación de Laplace permite el cálculo de la transformada de Laplace de funciones más complicadas.

Fórmula para la transformación de Laplace

En este artículo hablaremos sobre la Tabla de transformación de Laplace, su fórmula, ejemplos y propiedades. Pero antes de adentrarnos en el tema, es importante entender qué es la transformación de Laplace.

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La transformación de Laplace es una herramienta matemática utilizada para transformar una función en el dominio del tiempo en una función en el dominio de la frecuencia compleja. Esta transformación es útil en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales y en la obtención de soluciones a sistemas lineales.

Ahora bien, para llevar a cabo esta transformación, se utiliza la fórmula para la transformación de Laplace, que se expresa de la siguiente manera:

F(s) = L{f(t)} = ∫0 e-stf(t)dt

Donde:

  • F(s) es la función transformada en el dominio de la frecuencia compleja.
  • f(t) es la función original en el dominio del tiempo.
  • s es una variable compleja que representa la frecuencia compleja.
  • e-st es la función exponencial compleja que se utiliza para transformar la función f(t) en el dominio de la frecuencia compleja.
  • 0 es el operador de integración que se utiliza para integrar la función f(t) en el dominio del tiempo.

Es importante destacar que la fórmula para la transformación de Laplace solo es aplicable a funciones que cumplen ciertas condiciones, como ser funciones de orden exponencial. Por lo tanto, antes de aplicar esta fórmula, es necesario asegurarse de que la función a transformar cumpla con dichas condiciones.

A continuación, presentamos algunos ejemplos de la aplicación de la fórmula para la transformación de Laplace:

1. Transformar la función f(t) = t en el dominio de la frecuencia compleja.

Para aplicar la fórmula para la transformación de Laplace, debemos primero reescribir la función f(t) en términos de la función exponencial compleja:

e-stt

Luego, aplicamos la fórmula:

F(s) = L{f(t)} = ∫0 e-stt dt

Integrando por partes, obtenemos:

F(s) = L{f(t)} = -1/s2

Por lo tanto, la transformada de Laplace de la función f(t) = t es F(s) = -1/s2.

2. Transformar la función f(t) = e2t en el dominio de la frecuencia compleja.

En este caso, la función f(t) ya está en términos de la función exponencial compleja, por lo que podemos aplicar directamente la fórmula:

F(s) = L{f(t)} = ∫0 e-ste2t dt

Realizando la integral, obtenemos:

F(s) = L{f(t)} = 1/(s-2)

Por lo tanto, la transformada de Laplace de la función f(t) = e2t es F(s) = 1/(s-2).

Por último, es importante mencionar algunas propiedades de la transformada de Laplace, como la linealidad, la propiedad de la derivada, la propiedad de la integral, entre otras. Estas propiedades son útiles en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la obtención de soluciones a sistemas lineales.

Su aplicación es útil en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la obtención de soluciones a sistemas lineales. Además, es importante recordar las condiciones que deben cumplir las funciones antes de aplicar esta fórmula, así como las propiedades de la transformada de Laplace.

Aplicaciones de la transformación de Laplace

La transformación de Laplace es una herramienta matemática que se utiliza para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Al aplicar la transformación de Laplace a una ecuación diferencial, se convierte en una función algebraica que se puede resolver más fácilmente. La tabla de transformación de Laplace es una herramienta útil que muestra las transformaciones de Laplace de las funciones comunes.

La fórmula para la transformación de Laplace es:

L(f(t)) = F(s) = ∫0 e-stf(t)dt

donde L representa la transformación de Laplace, f(t) es la función original, s es una variable compleja y F(s) es la función transformada.

Existen muchas aplicaciones de la transformación de Laplace en diferentes campos, como la ingeniería, física, matemáticas y la ciencia de la computación. Aquí te presentamos algunas de las aplicaciones más comunes:

1. Análisis de circuitos eléctricos

La transformación de Laplace se utiliza comúnmente en la ingeniería eléctrica para analizar circuitos eléctricos. Al aplicar la transformación de Laplace a una ecuación diferencial que describe el comportamiento del circuito, se puede obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia. Esto permite diseñar circuitos y sistemas que respondan a diferentes señales de entrada.

2. Análisis de sistemas mecánicos

La transformación de Laplace también se utiliza en la física y la ingeniería mecánica para analizar sistemas mecánicos. Por ejemplo, se puede utilizar para analizar el movimiento de un sistema amortiguado, o para resolver ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un péndulo.

3. Análisis de sistemas de control

La transformación de Laplace se utiliza en la teoría de control para analizar la estabilidad y la respuesta de un sistema de control. Al aplicar la transformación de Laplace a las ecuaciones que describen el sistema de control, se puede obtener una función de transferencia que describe la relación entre la entrada y la salida del sistema.

4. Análisis de señales y sistemas

La transformación de Laplace se utiliza en la teoría de señales y sistemas para analizar y procesar señales. Al aplicar la transformación de Laplace a una señal, se puede obtener su transformada de Laplace, que describe su comportamiento en el dominio de la frecuencia. Esto permite analizar y filtrar señales de diferentes frecuencias.

5. Resolución de ecuaciones diferenciales

La transformación de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Al aplicar la transformación de Laplace a una ecuación diferencial, se convierte en una ecuación algebraica que se puede resolver más fácilmente. Esto es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales que son difíciles de resolver utilizando métodos tradicionales.

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La tabla de transformación de Laplace es una herramienta útil que muestra las transformaciones de Laplace de las funciones comunes. Al aplicar la transformación de Laplace a una ecuación diferencial, se convierte en una función algebraica que se puede resolver más fácilmente. La transformación de Laplace se utiliza comúnmente en la ingeniería eléctrica, física, matemáticas y la ciencia de la computación para analizar sistemas y resolver ecuaciones diferenciales.

Ejemplos de transformación de Laplace

La transformación de Laplace es una herramienta matemática utilizada para convertir una función en el dominio del tiempo en una función en el dominio de la frecuencia compleja. Esta técnica es ampliamente utilizada en la ingeniería y la física para resolver problemas de ecuaciones diferenciales y sistemas de control. Aquí algunos ejemplos de transformación de Laplace:

Ejemplo 1:

Transformar la función:

f(t) = 2t + 3

Aplicando la transformación de Laplace:

F(s) = L[f(t)] = ∫e^(-st)f(t)dt

Sustituyendo la función:

F(s) = ∫e^(-st)(2t + 3)dt

Resolviendo la integral:

F(s) = 2/s^2 + 3/s

Ejemplo 2:

Transformar la función:

f(t) = e^(-2t)sen(3t)

Aplicando la transformación de Laplace:

F(s) = L[f(t)] = ∫e^(-st)f(t)dt

Sustituyendo la función:

F(s) = ∫e^(-st)e^(-2t)sen(3t)dt

Resolviendo la integral:

F(s) = 3/(s+2)^2 + 9/(s+2)^2 + s/(s+2)^2 + 4/(s+2)^2

Ejemplo 3:

Transformar la función:

f(t) = cos(4t)

Aplicando la transformación de Laplace:

F(s) = L[f(t)] = ∫e^(-st)f(t)dt

Sustituyendo la función:

F(s) = ∫e^(-st)cos(4t)dt

Resolviendo la integral:

F(s) = s/(s^2 + 16)

Estos son solo algunos ejemplos de cómo se puede aplicar la transformación de Laplace para encontrar la transformada de una función. La tabla de transformación de Laplace es una herramienta útil para resolver problemas más complejos y para analizar sistemas en el dominio de la frecuencia. Además, es importante tener en cuenta las propiedades de la transformación de Laplace, como la linealidad y la propiedad de la derivada, que pueden simplificar el proceso de cálculo.

Propiedades de la transformación de Laplace

La transformación de Laplace es una herramienta matemática muy útil para resolver ecuaciones diferenciales. Para trabajar con esta transformación, es importante conocer las propiedades que se aplican en su aplicación. A continuación, se presentan algunas de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace:

Linealidad

La transformación de Laplace es una operación lineal, lo que significa que cumple con las siguientes propiedades:

  • Propiedad de la suma: La transformación de Laplace de la suma de dos funciones es igual a la suma de las transformaciones de Laplace de cada función. Es decir:

L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}

  • Propiedad de la multiplicación por constante: La transformación de Laplace de una función multiplicada por una constante es igual a la constante multiplicada por la transformación de Laplace de la función original. Es decir:

L{c*f(t)} = c*L{f(t)}

Desplazamiento en el eje temporal

La transformación de Laplace también cumple con la propiedad de desplazamiento en el eje temporal. Esto significa que si se retrasa o se adelanta una función en el tiempo, su transformación de Laplace se modifica de la siguiente manera:

  • Propiedad del desplazamiento hacia la derecha: Si se retrasa una función en el tiempo, su transformación de Laplace se multiplica por una exponencial decreciente. Es decir:

L{f(t-a) u(a)} = e^{-as} L{f(t)}

  • Propiedad del desplazamiento hacia la izquierda: Si se adelanta una función en el tiempo, su transformación de Laplace se multiplica por una exponencial creciente. Es decir:

L{f(t+a) u(-a)} = e^{as} L{f(t)}

Derivación e integración

La transformación de Laplace también es compatible con la derivación e integración de funciones. En particular, se cumple que:

  • Propiedad de la derivada: La transformación de Laplace de la derivada de una función es igual a la transformada de Laplace de la función original multiplicada por s. Es decir:

L{f'(t)} = sL{f(t)} – f(0)

  • Propiedad de la integral: La transformación de Laplace de la integral de una función es igual a la transformada de Laplace de la función original dividida por s. Es decir:

L{int_0^t f(u)du} = frac{L{f(t)}}{s}

Convolución

Finalmente, la transformación de Laplace es compatible con la operación de convolución. En particular, se cumple que:

  • Propiedad de la convolución: La transformación de Laplace de la convolución de dos funciones es igual al producto de las transformaciones de Laplace de cada función. Es decir:

L{f*g(t)} = L{f(t)} L{g(t)}

En resumen

La transformación de Laplace es una herramienta muy útil para resolver ecuaciones diferenciales. Para trabajar con ella, se deben conocer las propiedades de linealidad, desplazamiento en el eje temporal, derivación e integración, y convolución. Estas propiedades permiten simplificar cálculos y resolver problemas de manera más eficiente.

Funciones especiales y su transformación de Laplace

La transformación de Laplace es una herramienta matemática que se utiliza para convertir una función de dominio temporal en una función de dominio complejo. Esta transformación se utiliza en numerosas aplicaciones, como en la ingeniería, la física y la electrónica, entre otras.

Tabla de transformación de Laplace

La tabla de transformación de Laplace es una herramienta esencial en el cálculo de la transformación de Laplace. En esta tabla, se encuentran las transformaciones de numerosas funciones comunes. Estas funciones se dividen en dos categorías: funciones ordinarias y funciones especiales.

Funciones especiales

Las funciones especiales son aquellas que no se pueden representar mediante una combinación de funciones ordinarias. A continuación, se presentan algunas de las funciones especiales más comunes y su transformación de Laplace:

  • Función escalón unitario – La función escalón unitario es una función que vale 1 para valores mayores o iguales que cero, y 0 para valores menores a cero. Su transformación de Laplace es: L{u(t)} = 1/s
  • Función impulso unitario – La función impulso unitario es una función que vale 1 para t=0, y 0 para cualquier otro valor de t. Su transformación de Laplace es: L{δ(t)} = 1
  • Función exponencial – La función exponencial es una función que toma la forma e^-st, donde s es un número complejo. Su transformación de Laplace es: L{e^-st} = 1/(s+a)
  • Función seno y coseno – Las funciones seno y coseno son funciones periódicas que toman la forma sin(at) y cos(at), respectivamente. Su transformación de Laplace es: L{sin(at)} = a/(s^2+a^2) y L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)
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Fórmula y ejemplos

La fórmula general de la transformación de Laplace es:

L{f(t)} = ∫[0,∞] e^-st f(t) dt

Donde s es un número complejo y f(t) es la función a transformar. A continuación, se presentan algunos ejemplos de transformaciones de Laplace:

  • Función rampa – La función rampa es una función que toma la forma t para valores mayores o iguales que cero, y 0 para valores menores a cero. Su transformación de Laplace es: L{rt} = 1/s^2
  • Función exponencial decreciente – La función exponencial decreciente es una función que toma la forma e^-at para valores mayores o iguales que cero, y 0 para valores menores a cero. Su transformación de Laplace es: L{e^-at} = 1/(s+a)

Propiedades de la transformación de Laplace

La transformación de Laplace tiene varias propiedades que se utilizan frecuentemente en el análisis de sistemas lineales. Algunas de estas propiedades son:

  • Linealidad – La transformación de Laplace es lineal, lo que significa que si f(t) y g(t) son dos funciones, y a y b son dos constantes, entonces L{a*f(t) + b*g(t)} = a*L{f(t)} + b*L{g(t)}
  • Desplazamiento en el tiempo – Si f(t) es una función, entonces L{f(t-a)} = e^-as*L{f(t)}
  • Cambio de escala – Si f(t) es una función, entonces L{f(at)} = 1/a*L{f(t)}

La tabla de transformación de Laplace es una herramienta esencial en el cálculo de la transformación de Laplace, y las funciones especiales tienen transformaciones específicas. Además, la transformación de Laplace tiene varias propiedades útiles que se utilizan en el análisis de sistemas lineales.

En conclusión, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta poderosa y útil en el análisis de sistemas dinámicos y en la solución de ecuaciones diferenciales. A través de la aplicación de la fórmula y la comprensión de las propiedades de la transformación, podemos encontrar soluciones a problemas complejos de manera más eficiente y efectiva. Además, los ejemplos presentados demuestran la versatilidad de esta técnica y su aplicación en una amplia gama de disciplinas, desde la ingeniería hasta la física y las matemáticas. En resumen, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta esencial para cualquier estudiante o profesional que busque un mejor entendimiento de los sistemas dinámicos y la resolución de ecuaciones diferenciales.

En conclusión, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta poderosa y útil en el análisis de sistemas dinámicos y en la solución de ecuaciones diferenciales. A través de la aplicación de la fórmula y la comprensión de las propiedades de la transformación, podemos encontrar soluciones a problemas complejos de manera más eficiente y efectiva. Además, los ejemplos presentados demuestran la versatilidad de esta técnica y su aplicación en una amplia gama de disciplinas, desde la ingeniería hasta la física y las matemáticas. En resumen, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta esencial para cualquier estudiante o profesional que busque un mejor entendimiento de los sistemas dinámicos y la resolución de ecuaciones diferenciales.

En conclusión, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta muy útil en el estudio de sistemas dinámicos lineales. La fórmula de la transformada de Laplace permite transformar una función del dominio temporal al dominio de la frecuencia compleja, lo que facilita su análisis y resolución. Los ejemplos de aplicación de la transformada de Laplace son múltiples, abarcando áreas como la ingeniería, la física, las matemáticas y la economía, entre otras. Además, las propiedades de la transformada de Laplace, como la linealidad, la transformación de derivadas e integrales, y la convolución, entre otras, hacen que su uso sea aún más versátil y eficiente. En resumen, la tabla de transformación de Laplace es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas dinámicos lineales y su aplicación es amplia en muchas áreas del conocimiento.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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