Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
Indice de contenidos
Modelado matemático del sistema de control
Hay varios tipos de sistemas físicos, a saber, tenemos:
- Sistemas mecánicos
- Sistemas eléctricos
- Sistemas electronicos
- Sistemas térmicos
- Sistemas hidraulicos
- Sistemas quimicos
En primer lugar, debemos entender: ¿por qué tenemos que modelar estos sistemas en primer lugar? El modelado matemático de un sistema de control es el proceso de dibujar los diagramas de bloques para este tipo de sistemas con el fin de determinar su desempeño y funciones de transferencia.
Ahora describamos el tipo de sistemas mecánicos y eléctricos en detalle. Derivaremos analogías entre sistema mecánico y eléctrico solamente que son las más importantes para comprender la teoría del sistema de control.
Modelado matemático de sistemas mecánicos
Disponemos de dos tipos de sistemas mecánicos. El sistema mecánico puede ser un sistema mecánico lineal o puede ser un tipo de sistema mecánico rotacional.
En un tipo de sistemas mecánicos lineales , tenemos tres variables:
- Fuerza, representada por ‘F’
- Velocidad, representada por ‘V’
- Desplazamiento lineal, representado por ‘X’
Y también tenemos tres parámetros:
- Misa, representada por ‘M’
- El coeficiente de fricción viscosa, representado por ‘B’
- La constante de resorte, representada por ‘K’
En un tipo de sistemas mecánicos rotacionales tenemos tres variables:
- Par, representado por ‘T’
- Velocidad angular, representada por ‘ω’
- Desplazamiento angular, representado por ‘θ’
Y también tenemos dos parámetros:
- Momento de inercia, representado por ‘J’
- El coeficiente de fricción viscosa, representado por ‘B’
Ahora consideremos el sistema mecánico de desplazamiento lineal que se muestra a continuación. 
Ya hemos marcado varias variables en el diagrama. Tenemos x es el desplazamiento como se muestra en el diagrama. A partir de la segunda ley del movimiento de Newton, podemos escribir la fuerza como- 
En el siguiente diagrama podemos ver que:
Al sustituir los valores de F 1 , F 2 y F 3 en la ecuación anterior y tomar la transformada de Laplace tenemos la función de transferencia como, 
Esta ecuación es el modelado matemático de un sistema de control mecánico .
Modelado matemático del sistema eléctrico
En un tipo de sistema eléctrico tenemos tres variables:
- Voltaje que está representado por ‘V’.
- Corriente que está representada por ‘I’.
- Cargo que está representado por ‘Q’.
Y también tenemos tres parámetros que son componentes activos y pasivos :
- Resistencia que está representada por ‘R’.
- Capacitancia que está representada por ‘C’.
- Inductancia que está representada por ‘L’.
Ahora estamos en condiciones de derivar una analogía entre los tipos de sistemas eléctricos y mecánicos. Hay dos tipos de analogías y se escriben a continuación:
Analogía de voltaje de fuerza : para comprender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consta de una combinación en serie de resistencia , inductor y condensador . 
Un voltaje V está conectado en serie con estos elementos como se muestra en el diagrama del circuito. Ahora, a partir del diagrama del circuito y con la ayuda de la ecuación KVL , escribimos la expresión de voltaje en términos de carga, resistencia , condensador e inductor como,
Ahora, comparando lo anterior con lo que hemos derivado para el sistema mecánico, encontramos que-
- La masa (M) es análoga a la inductancia (L).
- La fuerza es análoga al voltaje V.
- El desplazamiento (x) es análogo a la carga (Q).
- El coeficiente de fricción (B) es análogo a la resistencia R y
- La constante del resorte es análoga a la inversa del capacitor (C).
Esta analogía se conoce como analogía de tensión de fuerza.
Analogía de corriente de fuerza : para comprender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consta de una combinación en paralelo de resistencia, inductor y condensador . 
Un voltaje E está conectado en paralelo con estos elementos como se muestra en el diagrama del circuito. Ahora, a partir del diagrama del circuito y con la ayuda de la ecuación KCL , escribimos la expresión para la corriente en términos de flujo , resistencia, condensador e inductor como, 
Ahora , comparando lo anterior con lo que hemos derivado para el sistema mecánico, encontramos que,
- La masa (M) es análoga al condensador (C).
- La fuerza es análoga a la corriente I.
- El desplazamiento (x) es análogo al flujo (ψ).
- El coeficiente de fricción (B) es análogo a la resistencia 1 / R y
- La constante de resorte K es análoga a la inversa del inductor (L).
Esta analogía se conoce como analogía de corriente de fuerza.
Ahora consideremos el tipo de sistema mecánico rotacional que se muestra a continuación. Ya hemos marcado varias variables en el diagrama mismo. Tenemos θ es el desplazamiento angular como se muestra en el diagrama. Del sistema mecánico, podemos escribir la ecuación para el par (que es análogo a la fuerza) como par como, 
Del diagrama podemos ver que, 
Al sustituir los valores de T 1 , T 2 y T 3 en la ecuación anterior y tomar la transformada de Laplace tenemos la función de transferencia como, 
Esta ecuación es un modelo matemático del sistema de control eléctrico .
