Análisis del espacio de estados del sistema de control

Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Antes de presentarles el concepto de análisis del espacio de estados del sistema de control , es muy importante discutir aquí las diferencias entre la teoría convencional del sistema de control y la teoría moderna del sistema de control.

1. La teoría de control convencional se basa completamente en el enfoque del dominio de la frecuencia, mientras que la teoría del sistema de control moderno se basa en el enfoque del dominio del tiempo.
2. En la teoría convencional del sistema de control, solo tenemos sistemas lineales e invariantes en el tiempo de entrada única y salida única ( SISO ), pero con la ayuda de la teoría del sistema de control moderno podemos hacer fácilmente el análisis de entradas múltiples, incluso no lineales y variables en el tiempo, múltiples salidas ( MIMO) también.
3. En la teoría moderna del sistema de control, el análisis de estabilidad y el análisis de respuesta en el tiempo se pueden realizar con métodos gráficos y analíticos muy fácilmente.

Ahora , el análisis del espacio de estados del sistema de control se basa en la teoría moderna que es aplicable a todo tipo de sistemas, como sistemas de entrada única y salida única, sistemas de entradas y salidas múltiples, sistemas lineales y no lineales, sistemas variables en el tiempo e invariantes en el tiempo. Consideremos algunos términos básicos relacionados con el análisis del espacio de estados de la teoría moderna de los sistemas de control.

1. Estado en el análisis del espacio de estados: Se refiere al conjunto más pequeño de variables cuyo conocimiento en t = t ₀ junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t ₀ da el conocimiento completo del comportamiento del sistema en cualquier momento t ≥ t ₀ .
2. Variables de estado en el análisis del espacio de estados: se refiere al conjunto más pequeño de variables que nos ayudan a determinar el estado del sistema dinámico. Las variables de estado se definen por x ₁ (t), x ₂ (t) …… ..X _n (t).
3. Vector de estado: suponga que hay un requisito de n variables de estado para describir el comportamiento completo del sistema dado, entonces estas n variables de estado se consideran n componentes de un vector x (t). Dicho vector se conoce como vector de estado.
4. Espacio de estado: Se refiere al espacio n dimensional que tieneejex ₁ , eje x ₂ ……… eje x _n .

Ecuaciones del espacio de estados

Derivemos ecuaciones de espacio de estados para el sistema que es lineal e invariante en el tiempo.
Consideremos un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas que tiene r entradas y m salidas.
Donde, r = u ₁ , u ₂ , u ₃ ……… .. u _r .
Y m = y ₁ , y ₂ ……… .. y _m .
Ahora estamos tomando n variables de estado para describir el sistema dado, por lo tanto, n = x ₁ , x ₂ , ……… .. x _n .
También definimos los vectores de entrada y salida como,
Transposición de vectores de entrada,

Donde, T es la transposición de la matriz.

Transpuesta de vectores de salida,

donde, T es la transposición de la matriz.
Transpuesta de vectores de estado,

donde, T es la transposición de la matriz.
Estas variables están relacionadas por un conjunto de ecuaciones que se escriben a continuación y se conocen como ecuaciones de espacio de estado.

Representación del modelo de estado mediante la función de transferencia

Descomposición: Se define como el proceso de obtención del modelo de estados a partir de la función de transferencia dada. Ahora podemos descomponer la función de transferencia de tres formas diferentes:

1. Descomposición directa,
2. Descomposición en cascada o en serie,
3. Descomposición paralela.

En todos los métodos de descomposición anteriores, primero convertimos la función de transferencia dada en las ecuaciones diferenciales, que también se denominan ecuaciones dinámicas. Después de convertir en ecuaciones diferenciales, tomaremos la transformada de Laplace inversa de la ecuación anterior correspondiente al tipo de descomposición que podemos crear. Podemos representar cualquier tipo de función de transferencia en el modelo de estado. Tenemos varios tipos de modelo como modelo eléctrico, modelo mecánico, etc.

Expresión de la matriz de transferencia en términos de A, B, C y D. Definimos la matriz de transferencia como la transformada de Laplace de salida a la transformada de Laplace de entrada.
Al escribir las ecuaciones de estado nuevamente y tomar la transformada de Laplace de ambas ecuaciones de estado (suponiendo que las condiciones iniciales sean iguales a cero) tenemos

Podemos escribir la ecuación como

Donde, I es una matriz de identidad.
Ahora, sustituyendo el valor de X (s) en la ecuación Y (s) y poniendo D = 0 (la media es una matriz nula) tenemos la

inversa de la matriz se puede sustituir por adj de la matriz dividida por el determinante de la matriz, ahora reescribiendo la expresión que tenemos de

| sI-A | también se conoce como ecuación característica cuando se equipara a cero.

Concepto de valores propios y vectores propios

Las raíces de la ecuación característica que hemos descrito anteriormente se conocen como valores propios o valores propios de la matriz A.
Ahora hay algunas propiedades relacionadas con los valores propios y estas propiedades se escriben a continuación:

1. Cualquier matriz cuadrada A y su transpuesta At tienen los mismos valores propios.
2. La suma de los valores propios de cualquier matriz A es igual a la traza de la matriz A.
3. El producto de los valores propios de cualquier matriz A es igual al determinante de la matriz A.
4. Si multiplicamos una cantidad escalar a la matriz A, los valores propios también se multiplican por el mismo valor del escalar.
5. Si invertimos la matriz A dada, entonces sus valores propios también son inversos.
6. Si todos los elementos de la matriz son reales, entonces los valores propios correspondientes a esa matriz son reales o existen en un par conjugado complejo.

Ahora existe un vector propio correspondiente a un valor propio, si satisface la siguiente condición (ek × I – A) Pk = 0. Donde, k = 1, 2, 3, …… ..n.

Matriz de transición de estado y respuesta de estado cero

Aquí estamos interesados ​​en derivar las expresiones para la matriz de transición de estado y la respuesta de estado cero. Nuevamente, tomando las ecuaciones de estado que hemos derivado anteriormente y tomando su transformación de Laplace tenemos,

ahora al reescribir la ecuación anterior tenemos

Sea [sI-A] ^-1 = θ (s) y tomando la inversa de Laplace de la ecuación anterior tenemos

La expresión θ (t) se conoce como matriz de transición de estado.
L ^-1 .θ (t) BU (s) = respuesta de estado cero.
Ahora analicemos algunas de las propiedades de la matriz de transición de estados.

1. Si sustituimos t = 0 en la ecuación anterior, obtendremos 1. Matemáticamente podemos escribir θ (0) = 1.
2. Si sustituimos t = -t en θ (t), obtendremos el inverso de θ (t). Matemáticamente podemos escribir θ (-t) = [θ (t)] ^-1 .
3. También tenemos otra propiedad importante [θ (t)] ⁿ = θ (nt).

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JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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