Análisis del espacio de estados del sistema de control

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Ultima edición el 21 septiembre, 2023

El análisis del espacio de estados es una técnica fundamental para el diseño y la implementación de sistemas de control en ingeniería. Este método utiliza un modelo matemático para describir el comportamiento de un sistema dinámico en términos de un conjunto de variables de estado y su evolución en el tiempo.

En esta presentación, exploraremos los conceptos clave del análisis del espacio de estados, incluyendo la definición de variables de estado, la construcción de modelos y la utilización de técnicas de análisis para evaluar el rendimiento del sistema.

Además, discutiremos las aplicaciones prácticas del análisis del espacio de estados en el diseño de sistemas de control, incluyendo la estabilidad, la respuesta transitoria y la robustez del sistema. Finalmente, presentaremos los principales desafíos y limitaciones del análisis del espacio de estados, así como las posibles soluciones para superarlos.

Indice de contenidos

Definición del espacio de estados

El análisis del espacio de estados es una herramienta fundamental en el estudio de sistemas de control. El espacio de estados es una representación matemática de un sistema dinámico. En este artículo, explicaremos detalladamente qué es el espacio de estados y cómo se utiliza en el análisis de sistemas de control.

¿Qué es el espacio de estados?

El espacio de estados es una representación matemática de un sistema dinámico en términos de variables de estado y entradas. En un sistema de control, las variables de estado son aquellas que describen completamente el estado actual del sistema, mientras que las entradas son aquellas que pueden afectar el estado del sistema. El espacio de estados describe cómo estas variables de estado y entradas evolucionan en el tiempo.

Variables de estado

Las variables de estado son aquellas que describen completamente el estado actual del sistema en un momento dado. Estas variables pueden ser físicas, como la posición y velocidad de un objeto en movimiento, o abstractas, como el nivel de voltaje en un circuito eléctrico. En un sistema de control, las variables de estado son aquellas que se miden y controlan para asegurar que el sistema funcione correctamente.

Entradas

Las entradas son aquellas que pueden afectar el estado del sistema. En un sistema de control, las entradas son aquellas que se utilizan para controlar las variables de estado y, por lo tanto, el comportamiento del sistema. Las entradas pueden ser físicas, como la fuerza aplicada a un objeto en movimiento, o abstractas, como una señal de control en un circuito eléctrico.

Matrices de estado y entrada

El espacio de estados se representa matemáticamente mediante matrices de estado y entrada. La matriz de estado describe cómo las variables de estado evolucionan en el tiempo, mientras que la matriz de entrada describe cómo las entradas afectan a las variables de estado. Estas matrices se pueden utilizar para predecir el comportamiento del sistema en el futuro.

Aplicaciones del análisis del espacio de estados

El análisis del espacio de estados se utiliza en una amplia variedad de sistemas de control, desde el control de procesos químicos hasta el control de robots industriales. Algunas aplicaciones incluyen:

  • Control de procesos químicos
  • Control de robots industriales
  • Control de sistemas de energía eléctrica
  • Control de sistemas de navegación aérea

Conclusión

Esta representación se utiliza para predecir el comportamiento del sistema en el futuro y es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas de control. El análisis del espacio de estados se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones, desde el control de procesos químicos hasta el control de sistemas de navegación aérea.

Características del sistema de control

El sistema de control es un conjunto de elementos interconectados que trabajan juntos para mantener un proceso o sistema en un estado deseado. Estas son las características principales del sistema de control que debemos tener en cuenta:

1. Objetivo

El objetivo del sistema de control es mantener el proceso o sistema en un estado deseado. El objetivo se define en términos de la variable de control.

«El objetivo del sistema de control es mantener la temperatura del horno a 500 grados Celsius.»

2. Componentes

El sistema de control consta de varios componentes que trabajan juntos para lograr el objetivo. Los componentes pueden incluir sensores, actuadores, controladores y sistemas de comunicación.

«El sistema de control del horno consta de un sensor de temperatura, un controlador y un actuador.»

3. Retroalimentación

El sistema de control utiliza la retroalimentación para ajustar la salida del sistema y mantener la variable de control en el valor deseado. La retroalimentación se obtiene a través de los sensores del sistema.

«El controlador del horno utiliza la retroalimentación del sensor de temperatura para ajustar la potencia del quemador y mantener la temperatura en 500 grados Celsius.»

4. Tipos de control

Existen varios tipos de control utilizados en el sistema de control, incluyendo el control proporcional, el control integral y el control derivativo. Cada tipo de control se utiliza para lograr diferentes objetivos en el sistema de control.

«El controlador del horno utiliza un control proporcional para mantener la temperatura en 500 grados Celsius con precisión.»

5. Espacio de estados

El espacio de estados es una representación matemática del sistema de control. Proporciona información sobre el estado actual del sistema y cómo cambia con el tiempo.

«El análisis del espacio de estados del sistema de control del horno muestra que la temperatura se estabiliza en 500 grados Celsius después de un cierto tiempo.»

6. Estabilidad

La estabilidad es una propiedad importante del sistema de control. Un sistema de control estable mantiene la variable de control en el valor deseado, mientras que un sistema de control inestable no lo hace.

«El sistema de control del horno es estable y mantiene la temperatura en 500 grados Celsius durante todo el proceso de cocción.»

El sistema de control tiene varios componentes, utiliza la retroalimentación para ajustar la salida, utiliza diferentes tipos de control, tiene un espacio de estados matemático, y es importante que sea estable.

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Representación del sistema mediante el espacio de estados

En la teoría de control, es común representar un sistema dinámico mediante el espacio de estados. Esta representación permite analizar y diseñar sistemas de control en términos matemáticos, lo que facilita su implementación en la práctica.

¿Qué es el espacio de estados?

El espacio de estados es un conjunto de variables que describen completamente el estado de un sistema en un momento determinado. Estas variables pueden ser de dos tipos:

  • Variables de estado: son aquellas que describen la dinámica del sistema. Por ejemplo, la posición y la velocidad de un carro en movimiento.
  • Variables de entrada: son aquellas que influyen en el sistema desde el exterior. Por ejemplo, la fuerza que se aplica al acelerador de un carro.

En general, un sistema dinámico se puede representar mediante una ecuación diferencial que relaciona las variables de estado y las variables de entrada. Por ejemplo:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)

donde:

  • x(t) es un vector de variables de estado.
  • u(t) es un vector de variables de entrada.
  • A es una matriz que describe la dinámica del sistema.
  • B es una matriz que relaciona las variables de entrada con las variables de estado.

Esta ecuación se conoce como la ecuación de estado del sistema.

¿Cómo se utiliza el espacio de estados en el análisis de sistemas de control?

Utilizando la representación del sistema en el espacio de estados, se pueden analizar diversas propiedades del sistema, tales como:

  • Estabilidad: se puede determinar si el sistema es estable o no, es decir, si las perturbaciones en las variables de estado y entrada se atenúan con el tiempo.
  • Controlabilidad: se puede determinar si es posible controlar el sistema para que alcance un estado deseado a partir de cualquier estado inicial.
  • Observabilidad: se puede determinar si es posible conocer el estado actual del sistema a partir de las observaciones de las variables de salida.

Además, utilizando técnicas de diseño de controladores, se puede diseñar un controlador que permita controlar el sistema de manera óptima en términos de algún criterio de desempeño.

Conclusiones

La representación del sistema mediante el espacio de estados es una herramienta fundamental en la teoría de control. Permite analizar y diseñar sistemas de control en términos matemáticos, lo que facilita su implementación en la práctica. Además, utilizando técnicas de diseño de controladores, se puede diseñar un controlador que permita controlar el sistema de manera óptima en términos de algún criterio de desempeño.

Operaciones básicas del espacio de estados

El análisis del espacio de estados del sistema de control es una técnica fundamental para entender y diseñar sistemas de control. El espacio de estados es una representación matemática de un sistema dinámico que permite describir su comportamiento en términos de variables de estado y entradas. Las operaciones básicas del espacio de estados son:

1. Formulación del modelo en espacio de estados

La formulación del modelo en espacio de estados consiste en escribir las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema en términos de variables de estado y entradas. El modelo puede ser lineal o no lineal, dependiendo de la naturaleza del sistema. Por ejemplo, el modelo de un circuito eléctrico lineal puede escribirse en espacio de estados como:

x1‘ = –R1C1x1 + R1C1u

y = x1

donde x1 es la variable de estado (la carga del capacitor), u es la entrada (el voltaje de la fuente) y y es la salida (el voltaje en el capacitor). La primera ecuación representa la dinámica del sistema, mientras que la segunda ecuación establece la relación entre la salida y la variable de estado.

2. Transformación de la representación

La transformación de la representación consiste en convertir el modelo en espacio de estados a una forma más conveniente para el análisis y diseño del sistema de control. Esto puede implicar la eliminación de variables de estado redundantes, la agrupación de variables de estado en bloques, la reordenación de las ecuaciones, entre otras técnicas. Por ejemplo, el modelo anterior podría transformarse a la forma de espacio de estados en bloques como:

x1‘ = –R1C1x1 + R1C1u

y = x1

donde x1 es el bloque de estado, u es el bloque de entrada y y es el bloque de salida.

3. Análisis de la estabilidad

El análisis de la estabilidad consiste en determinar si el sistema es estable, es decir, si las variables de estado permanecen acotadas en el tiempo. Existen diferentes métodos para analizar la estabilidad de un sistema en espacio de estados, como el método de Routh-Hurwitz o el método de Lyapunov. Estos métodos permiten determinar si todas las raíces del polinomio característico del sistema tienen parte real negativa, lo cual garantiza la estabilidad.

4. Análisis de la respuesta transitoria

El análisis de la respuesta transitoria consiste en determinar cómo el sistema responde a una entrada transitoria, es decir, una entrada que cambia rápidamente en el tiempo. La respuesta transitoria puede analizarse mediante la solución de las ecuaciones diferenciales del modelo en espacio de estados o mediante la transformación del modelo a la función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada en el dominio de la frecuencia.

5. Diseño de controladores

El diseño de controladores consiste en encontrar una ley de control que permita modificar la entrada del sistema de manera que la salida satisfaga ciertos criterios de desempeño, como la estabilidad, la precisión o la rapidez de respuesta. El diseño de controladores puede realizarse mediante técnicas analíticas, como el método de la retroalimentación de estados o el método del lugar de raíces, o mediante técnicas de optimización, como el método del control óptimo.

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Estas operaciones son fundamentales para el análisis y diseño de sistemas de control en diferentes áreas de la ingeniería, como la electrónica, la mecánica y la robótica.

Análisis del sistema dinámico

El análisis del sistema dinámico es una herramienta fundamental en el estudio y diseño de sistemas de control. Consiste en analizar el comportamiento y evolución de un sistema en el tiempo, considerando las diferentes variables y factores que lo afectan.

Variables del sistema dinámico

Las variables del sistema dinámico son todas aquellas magnitudes que influyen en su comportamiento y evolución en el tiempo. Algunos ejemplos de estas variables son:

  • Entradas: Son las variables que se aplican para controlar el sistema, como pueden ser señales eléctricas, mecánicas o incluso señales de voz.
  • Salidas: Son las variables que miden el resultado del sistema, como pueden ser la velocidad, la posición o la temperatura.
  • Estados: Son las variables internas del sistema, que no se pueden medir directamente pero que influyen en su comportamiento y evolución. Algunos ejemplos pueden ser la carga de una batería, la presión de un fluido o la posición de un motor.

Análisis del espacio de estados

El análisis del espacio de estados es una técnica para representar el comportamiento de un sistema dinámico de manera matemática. Consiste en definir un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del sistema en función del tiempo.

Para realizar el análisis del espacio de estados, es necesario conocer las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema. Estas ecuaciones se pueden obtener a partir de la física del sistema, o bien mediante técnicas de identificación a partir de la medición de las variables del sistema en diferentes condiciones de operación.

Una vez se tienen las ecuaciones del sistema, se pueden representar en forma matricial utilizando la siguiente notación:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)

Donde:

  • x(t): Es el vector de estados del sistema en el instante t.
  • u(t): Es el vector de entradas del sistema en el instante t.
  • A: Es la matriz de coeficientes que relaciona los estados del sistema.
  • B: Es la matriz de coeficientes que relaciona las entradas del sistema.
  • x'(t): Es el vector de derivadas de los estados del sistema en el instante t.

La representación en espacio de estados permite realizar diferentes análisis del sistema dinámico, como el análisis de estabilidad, el diseño de controladores o la simulación del sistema en diferentes condiciones de operación.

Conclusiones

El análisis del sistema dinámico y el análisis del espacio de estados son herramientas fundamentales en el diseño y estudio de sistemas de control. Con estas técnicas, es posible representar el comportamiento del sistema de manera matemática y realizar diferentes análisis para garantizar su estabilidad y correcto funcionamiento.

Análisis de estabilidad del sistema

Cuando hablamos de Análisis del espacio de estados del sistema de control, es importante considerar el Análisis de estabilidad del sistema. Este análisis se enfoca en determinar si el sistema es estable o inestable, lo que es crucial para garantizar un funcionamiento adecuado del sistema de control.

¿Qué es la estabilidad del sistema?

La estabilidad del sistema se refiere a la capacidad del sistema de control para mantener su comportamiento deseado a lo largo del tiempo, a pesar de las perturbaciones externas o internas. Es decir, un sistema estable es aquel que puede mantener un estado de equilibrio o un funcionamiento predecible.

¿Por qué es importante analizar la estabilidad del sistema?

El análisis de la estabilidad del sistema es importante porque un sistema inestable puede generar comportamientos no deseados o peligrosos, como oscilaciones excesivas, transitorios prolongados o incluso la destrucción del sistema. Por lo tanto, es crucial garantizar que el sistema sea estable para asegurar su correcto funcionamiento y seguridad.

¿Cómo se realiza el análisis de estabilidad del sistema?

Existen diferentes métodos para realizar el análisis de estabilidad del sistema, algunos de los cuales se mencionan a continuación:

  • Respuesta al impulso: este método se basa en la respuesta del sistema a un impulso, que es una señal de corta duración y alta amplitud. Si la respuesta es acotada y limitada, el sistema es estable.
  • Función de transferencia: este método utiliza la función de transferencia del sistema para determinar si existe algún polo (raíz del denominador de la función) en el semiplano derecho del plano complejo. Si existe algún polo en esa zona, el sistema es inestable.
  • Plano complejo: este método utiliza el plano complejo para representar los polos y ceros de la función de transferencia del sistema. Si todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.

Ejemplo de análisis de estabilidad del sistema

Supongamos que tenemos un sistema de control de temperatura en una habitación, que utiliza un termostato para encender o apagar un calentador cuando la temperatura se desvía del valor deseado. Para analizar la estabilidad del sistema, podemos utilizar el método de la respuesta al impulso:

  • Enviamos un impulso de calor al sistema, aumentando la temperatura de la habitación por un instante.
  • Observamos la respuesta del sistema: si la temperatura vuelve rápidamente al valor deseado y se mantiene estable, el sistema es estable. Si la temperatura oscila de manera excesiva o no vuelve al valor deseado, el sistema es inestable.

En este ejemplo, si la temperatura se estabiliza rápidamente después del impulso, podemos concluir que el sistema es estable y que el control de temperatura funciona correctamente. Sin embargo, si la temperatura oscila o tarda en volver al valor deseado, debemos revisar el sistema para identificar posibles problemas de estabilidad.

Diseño de controladores a partir del espacio de estados

El análisis del espacio de estados del sistema de control es fundamental para el diseño de controladores eficientes. A partir de este análisis, se pueden obtener las variables de estado y las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema en el tiempo.

Variables de estado

Las variables de estado son aquellas que definen completamente el estado del sistema en un momento determinado. Estas variables pueden ser la posición, velocidad, aceleración, entre otras, dependiendo del sistema que se esté analizando.

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Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado son aquellas que describen cómo cambian las variables de estado en el tiempo. Estas ecuaciones se pueden obtener a partir de las leyes físicas que rigen el sistema y de las relaciones entre las variables de estado.

Matrices de estado

Las matrices de estado son una forma compacta de representar las ecuaciones de estado. Estas matrices contienen la información sobre la relación entre las variables de estado y cómo estas cambian en el tiempo.

Controlabilidad y observabilidad

La controlabilidad y observabilidad son dos propiedades fundamentales del sistema que se deben verificar antes de diseñar un controlador. La controlabilidad se refiere a la capacidad de controlar el sistema a través de las entradas disponibles, mientras que la observabilidad se refiere a la capacidad de obtener información sobre el estado del sistema a partir de las salidas disponibles.

Diseño de controladores

A partir de las matrices de estado, se pueden diseñar controladores que permitan controlar el sistema de forma eficiente. Los controladores se pueden diseñar utilizando diversas técnicas, como la retroalimentación de estado o la colocación de polos.

Retroalimentación de estado

En la retroalimentación de estado, se utiliza una combinación lineal de las variables de estado para generar la señal de control. Esta combinación se puede obtener a partir de las matrices de estado y de los valores deseados de las variables de estado.

Colocación de polos

En la colocación de polos, se seleccionan los polos del sistema a partir de los valores deseados de las variables de estado. A partir de estos polos, se puede obtener la ganancia del controlador.

A partir de las variables de estado, las ecuaciones de estado y las matrices de estado, se pueden diseñar controladores utilizando diferentes técnicas, como la retroalimentación de estado o la colocación de polos.

Diseño de controladores a partir del espacio de estados

El análisis del espacio de estados del sistema de control es fundamental para el diseño de controladores eficientes. A partir de este análisis, se pueden obtener las variables de estado y las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema en el tiempo.

Variables de estado

Las variables de estado son aquellas que definen completamente el estado del sistema en un momento determinado. Estas variables pueden ser la posición, velocidad, aceleración, entre otras, dependiendo del sistema que se esté analizando.

Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado son aquellas que describen cómo cambian las variables de estado en el tiempo. Estas ecuaciones se pueden obtener a partir de las leyes físicas que rigen el sistema y de las relaciones entre las variables de estado.

Matrices de estado

Las matrices de estado son una forma compacta de representar las ecuaciones de estado. Estas matrices contienen la información sobre la relación entre las variables de estado y cómo estas cambian en el tiempo.

Controlabilidad y observabilidad

La controlabilidad y observabilidad son dos propiedades fundamentales del sistema que se deben verificar antes de diseñar un controlador. La controlabilidad se refiere a la capacidad de controlar el sistema a través de las entradas disponibles, mientras que la observabilidad se refiere a la capacidad de obtener información sobre el estado del sistema a partir de las salidas disponibles.

Diseño de controladores

A partir de las matrices de estado, se pueden diseñar controladores que permitan controlar el sistema de forma eficiente. Los controladores se pueden diseñar utilizando diversas técnicas, como la retroalimentación de estado o la colocación de polos.

Retroalimentación de estado

En la retroalimentación de estado, se utiliza una combinación lineal de las variables de estado para generar la señal de control. Esta combinación se puede obtener a partir de las matrices de estado y de los valores deseados de las variables de estado.

Colocación de polos

En la colocación de polos, se seleccionan los polos del sistema a partir de los valores deseados de las variables de estado. A partir de estos polos, se puede obtener la ganancia del controlador.

A partir de las variables de estado, las ecuaciones de estado y las matrices de estado, se pueden diseñar controladores utilizando diferentes técnicas, como la retroalimentación de estado o la colocación de polos.

En conclusión, el análisis del espacio de estados es una herramienta fundamental en el diseño y control de sistemas dinámicos. Al utilizar esta técnica, se puede modelar y comprender el comportamiento de un sistema en términos de sus variables de estado, lo que permite diseñar controladores que optimicen su desempeño. Además, el análisis del espacio de estados es una técnica versátil que puede ser utilizada en una amplia gama de aplicaciones, desde sistemas mecánicos hasta sistemas eléctricos y electrónicos. En definitiva, el análisis del espacio de estados es una herramienta esencial para el diseño y control de sistemas modernos y complejos.

En conclusión, el análisis del espacio de estados del sistema de control es una herramienta fundamental para el diseño y la optimización de sistemas de control de alta complejidad. Este análisis permite modelar el comportamiento de un sistema dinámico en términos de variables de estado, lo que facilita la resolución de problemas de control óptimo, diseño de controladores y simulación de sistemas complejos. Además, el análisis del espacio de estados permite visualizar el comportamiento del sistema en diferentes estados, lo que facilita la identificación de problemas y la toma de decisiones informadas. En resumen, el análisis del espacio de estados es una herramienta esencial para la ingeniería de sistemas de control modernos y su dominio resulta fundamental para cualquier profesional en esta área.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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