Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
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Teoría de la síntesis de redes
Funciones de red
La teoría de síntesis de redes implica la síntesis de redes compuestas tanto de componentes activos (como resistencias ) como de componentes pasivos (como inductores y condensadores ).
Comencemos con lo básico: ¿qué es una función de red ? En el dominio de la frecuencia, las funciones de red se definen como el cociente obtenido al dividir el fasor correspondiente a la salida del circuito por el fasor correspondiente a la entrada del circuito.
En palabras simples, las funciones de red son la relación entre el fasor de salida y el fasor de entrada cuando existen fasores en el dominio de la frecuencia. La forma general de las funciones de red se da a continuación:
Ahora, con la ayuda de la función de red general anterior, podemos describir las condiciones necesarias para la estabilidad de todas las funciones de red. Hay tres condiciones de red necesarias para la estabilidad de estas funciones de red y se describen a continuación:
- El grado del numerador de F (s) no debe exceder el grado del denominador en más de la unidad. En otras palabras (m – n) debe ser menor o igual a uno.
- F (s) no debe tener varios polos en el eje jω o en el eje y del gráfico de polo cero.
- F (s) no debe tener polos en la mitad derecha del plano s.
Polinomio de Hurwitz
Si sobre todo se cumplen los criterios de estabilidad (es decir, tenemos una función de red estable) entonces el denominador de las F (s) se denomina polinomio de Hurwitz . 
Donde, Q (s) es un polinomio de Hurwitz .
Propiedades de los polinomios de Hurwitz
Hay cinco propiedades importantes de los polinomios de Hurwitz y se escriben a continuación:
- Para todos los valores reales de s, el valor de la función P (s) debe ser real.
- La parte real de cada raíz debe ser cero o negativa.
- Consideremos los coeficientes del denominador de F (s) es b n , b (n-1) , b (n-2) . . . . b 0 . Aquí debe tenerse en cuenta que b n , b (n-1) , b 0 debe ser positivo y b n y b (n-1) no deben ser iguales a cero simultáneamente.
- La expansión de fracción continua de par a la parte impar del polinomio de Hurwitz debe dar todos los términos de cociente positivo, si el grado par es mayor o la expansión de fracción continua de impar a la parte par del polinomio de Hurwitz debe dar todos los términos de cociente positivo, si es impar. el grado es mayor.
- En caso de polinomio puramente par o puramente impar, debemos hacer fracción continua con la derivada de del polinomio puramente par o puramente impar y el resto del procedimiento es el mismo que se menciona en el punto número (4).
De la discusión anterior llegamos a la conclusión de un resultado muy simple, si todos los coeficientes del polinomio cuadrático son reales y positivos, entonces ese polinomio cuadrático es siempre un polinomio de Hurwitz.
Funciones reales positivas
Cualquier función que tenga la forma de F (s) será llamada como una función real positiva si cumple estas cuatro condiciones importantes:
- F (s) debe dar valores reales para todos los valores reales de s.
- P (s) debe ser un polinomio de Hurwitz.
- Si sustituimos s = jω, al separar las partes real e imaginaria, la parte real de la función debe ser mayor o igual a cero, es decir, no debe ser negativa. Esta es la condición más importante y usaremos con frecuencia esta condición para averiguar si la función es real positiva o no.
- Al sustituir s = jω, F (s) debe poseer polos simples y los residuos deben ser reales y positivos.
Propiedades de la función real positiva
Hay cuatro propiedades muy importantes de las funciones reales positivas y se escriben a continuación:
- Tanto el numerador como el denominador de F (s) deben ser polinomios de Hurwitz.
- El grado del numerador de F (s) no debe exceder el grado del denominador en más de la unidad. En otras palabras (mn) debe ser menor o igual a uno.
- Si F (s) es una función real positiva, entonces el recíproco de F (s) también debería ser una función real positiva.
- Recuerde que la suma de dos o más funciones reales positivas también es una función real positiva, pero en el caso de la diferencia, puede ser una función real positiva o no.
A continuación se presentan las cuatro condiciones necesarias pero no suficientes para que las funciones sean una función real positiva y se escriben a continuación:
- El coeficiente del polinomio debe ser real y positivo.
- El grado del numerador de F (s) no debe exceder el grado del denominador en más de la unidad. En otras palabras (m – n) debe ser menor o igual a uno.
- Los polos y ceros en el eje imaginario deben ser simples.
- Consideremos los coeficientes del denominador de F (s) es b n , b (n-1) , b (n-2) . . . . b 0. Aquí debe tenerse en cuenta que b n , b (n-1) , b 0 debe ser positivo y b n y b (n-1) no deben ser iguales a cero simultáneamente.
Ahora hay dos condiciones necesarias y suficientes para que las funciones sean una función real positiva y se escriben a continuación:
- F (s) debe tener polos simples en el eje jω y los residuos de estos polos deben ser reales y positivos.
- La suma tanto del numerador como del denominador de F (s) debe ser un polinomio de Hurwitz.
