Tiempo de asentamiento: ¿Qué es? (Fórmula y cómo encontrarla en MATLAB)

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El tiempo de asentamiento es un concepto muy importante en el análisis de sistemas dinámicos. Se refiere al tiempo que tarda un sistema en alcanzar su estado estable después de una perturbación. Es una medida de la capacidad del sistema para recuperarse de una perturbación y volver a su estado estable. En este artículo, se explicará qué es el tiempo de asentamiento, cómo se calcula mediante una fórmula y cómo se puede encontrar utilizando la herramienta de MATLAB. También se discutirán algunas aplicaciones prácticas del tiempo de asentamiento en el análisis y diseño de sistemas dinámicos.

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¿Qué es el tiempo de asentamiento?

El tiempo de asentamiento es un concepto muy importante en la ingeniería y la física. Se refiere al tiempo que tarda una señal en estabilizarse después de un cambio en la entrada. En otras palabras, es el tiempo que tarda un sistema en alcanzar su estado estable después de una perturbación.

Por ejemplo, si se aplica una señal de entrada a un sistema de control, el tiempo que tarda el sistema en llegar a su estado estable se conoce como tiempo de asentamiento. Este tiempo es importante porque indica cuánto tiempo tarda el sistema en responder a los cambios en la entrada y en qué momento se puede considerar estable.

Fórmula para el tiempo de asentamiento

La fórmula para el tiempo de asentamiento es bastante simple. Se calcula como el tiempo que tarda la señal en estabilizarse dentro de un rango específico alrededor del valor de estado estable. Este rango suele ser del 2% al 5% del valor de estado estable.

La fórmula para el tiempo de asentamiento es la siguiente:

ts = t en el que |y(t) – yss| <= 0.02 * yss

Donde:

  • ts: tiempo de asentamiento
  • t: tiempo
  • y(t): valor de la señal en el tiempo t
  • yss: valor de estado estable

Cómo encontrar el tiempo de asentamiento en MATLAB

MATLAB es una herramienta muy útil para encontrar el tiempo de asentamiento de una señal. El código en MATLAB para encontrar el tiempo de asentamiento es el siguiente:

y = step(sys);
max_y = max(y);
min_y = min(y);
for i=1:length(y)
if abs(y(i)-yss) <= 0.02*yss
t = i;
break;
end
end
ts = t*Ts;

Donde:

  • step(sys): señal de entrada al sistema
  • max_y: valor máximo de la señal de salida
  • min_y: valor mínimo de la señal de salida
  • y(i): valor de la señal en el tiempo i
  • yss: valor de estado estable
  • 0.02*yss: rango de estabilidad
  • t: tiempo de asentamiento
  • Ts: tiempo de muestreo

Se calcula como el tiempo que tarda la señal en estabilizarse dentro de un rango específico alrededor del valor de estado estable. MATLAB es una herramienta muy útil para encontrar el tiempo de asentamiento de una señal.

Concepto de tiempo de asentamiento.

El tiempo de asentamiento es un parámetro que se utiliza para describir el comportamiento de un sistema dinámico en respuesta a un cambio en su entrada. En términos generales, el tiempo de asentamiento se refiere al tiempo que tarda un sistema en alcanzar una nueva condición de equilibrio después de que se ha aplicado una perturbación.

¿Por qué es importante el tiempo de asentamiento?

El tiempo de asentamiento es una medida importante de la estabilidad y la capacidad de respuesta de un sistema dinámico. En muchos casos, es necesario asegurarse de que un sistema alcance una nueva condición de equilibrio lo más rápidamente posible después de una perturbación. Por ejemplo, en el control de procesos industriales, el tiempo de asentamiento es un factor crítico para garantizar la calidad y la eficiencia del proceso.

Fórmula para el tiempo de asentamiento

La fórmula para calcular el tiempo de asentamiento depende del tipo de sistema que se está analizando. Sin embargo, en general, el tiempo de asentamiento se define como el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar y mantenerse dentro de un rango específico alrededor de su valor final. Este rango se define típicamente como un porcentaje del valor final, por ejemplo, el 5% o el 2%.

La fórmula general para el tiempo de asentamiento es:

ts = tiempo en el que la respuesta del sistema se mantiene dentro de un rango específico alrededor del valor final

Cómo encontrar el tiempo de asentamiento en MATLAB

En MATLAB, se pueden utilizar diversas herramientas para calcular el tiempo de asentamiento de un sistema. Una forma común de hacerlo es utilizando la función stepinfo, que se utiliza para obtener información sobre la respuesta de un sistema a una entrada escalón.

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Para utilizar la función stepinfo para encontrar el tiempo de asentamiento de un sistema, es necesario primero definir el sistema en MATLAB utilizando la función tf (transfer function) para crear la función de transferencia del sistema. Luego, se puede utilizar la función step para aplicar una entrada escalón al sistema y la función stepinfo para obtener información sobre la respuesta del sistema.

El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar el tiempo de asentamiento de un sistema de segundo orden utilizando MATLAB:

s = tf(‘s’);
G = 1/(s^2 + 2*s + 1);
step(G);
info = stepinfo(G);
ts = info.SettlingTime;

En este ejemplo, se define un sistema de segundo orden utilizando la función de transferencia G = 1/(s^2 + 2*s + 1). Luego, se aplica una entrada escalón al sistema utilizando la función step(G) y se utiliza la función stepinfo(G) para obtener información sobre la respuesta del sistema. Finalmente, se asigna el tiempo de asentamiento a la variable ts utilizando la propiedad SettlingTime de la estructura de información devuelta por la función stepinfo.

Conclusiones

El tiempo de asentamiento es un parámetro importante para describir el comportamiento de un sistema dinámico en respuesta a una perturbación. Se utiliza para medir la estabilidad y la capacidad de respuesta de un sistema y es especialmente importante en el control de procesos industriales y otras aplicaciones en las que es necesario garantizar que un sistema alcance una nueva condición de equilibrio lo más rápidamente posible.

En MATLAB, se pueden utilizar diversas herramientas para calcular el tiempo de asentamiento de un sistema, como la función stepinfo, que se utiliza para obtener información sobre la respuesta de un sistema a una entrada escalón. Al entender el concepto de tiempo de asentamiento y cómo encontrarlo en MATLAB, los ingenieros pueden diseñar y optimizar sistemas dinámicos con mayor eficacia.

Fórmula para el cálculo del tiempo de asentamiento.

El tiempo de asentamiento es un parámetro importante en la mecánica de suelos que permite conocer el tiempo que tarda una muestra de suelo en alcanzar su estado de equilibrio después de haber sido sometida a una carga. La fórmula para su cálculo se puede expresar de la siguiente manera:

T = K * H2 / Ic

  • T: tiempo de asentamiento en segundos
  • K: coeficiente de consolidación en m2/s
  • H: espesor de la muestra de suelo en metros
  • Ic: índice de compresibilidad en m2/MN

Esta fórmula nos indica que el tiempo de asentamiento depende del coeficiente de consolidación, el espesor de la muestra y el índice de compresibilidad. A continuación, se detallan un poco más cada uno de estos parámetros:

Coeficiente de consolidación (K)

El coeficiente de consolidación es una medida de la facilidad con la que un suelo se consolida bajo carga. Se puede obtener a partir de ensayos de consolidación unidimensional y su valor depende de las características del suelo, como su permeabilidad, porosidad y compacidad. En general, los suelos más permeables tienen un coeficiente de consolidación más alto, lo que significa que se consolidan más rápidamente.

Espesor de la muestra (H)

El espesor de la muestra es la distancia vertical entre las caras superior e inferior de la muestra de suelo. Este parámetro influye en el tiempo de asentamiento en la medida en que a mayor espesor, mayor será el tiempo de consolidación. Esto se debe a que la carga se distribuye a lo largo de un mayor volumen de suelo, lo que retarda el proceso de consolidación.

Índice de compresibilidad (Ic)

El índice de compresibilidad es una medida de la capacidad de un suelo para reducir su volumen bajo carga. Se puede obtener a partir de ensayos de compresión unidimensional y su valor depende de las características del suelo, como su porosidad, grado de saturación y mineralogía. En general, los suelos más compresibles tienen un índice de compresibilidad más alto, lo que significa que se consolidan más rápidamente.

Además, es posible encontrar esta fórmula en programas como MATLAB, que permiten realizar cálculos de manera más rápida y eficiente.

Aplicación de la fórmula en MATLAB.

Antes de explicar cómo aplicar la fórmula en MATLAB para encontrar el tiempo de asentamiento, es importante entender qué es este concepto.

¿Qué es el tiempo de asentamiento?

El tiempo de asentamiento se refiere al tiempo que tarda una señal en alcanzar su valor estable después de una perturbación o cambio en el sistema. En otras palabras, es el tiempo que tarda el sistema en estabilizarse después de una perturbación.

Para calcular el tiempo de asentamiento, se utiliza una fórmula matemática. Esta fórmula se puede aplicar en MATLAB para obtener el resultado de manera rápida y eficiente.

Fórmula para calcular el tiempo de asentamiento

La fórmula para calcular el tiempo de asentamiento es la siguiente:

ts = -ln(|(S-Ss)/Ss|)/δ

Donde:

  • ts es el tiempo de asentamiento
  • S es el valor de la señal en cualquier instante de tiempo
  • Ss es el valor estable de la señal después de la perturbación
  • δ es la pendiente de la recta que se ajusta a la curva de la señal

Para encontrar el tiempo de asentamiento utilizando MATLAB, se deben seguir los siguientes pasos:

Cómo encontrar el tiempo de asentamiento en MATLAB

  1. Importar los datos de la señal perturbada a MATLAB.
  2. Encontrar el valor estable de la señal después de la perturbación.
  3. Calcular la pendiente de la recta que se ajusta a la curva de la señal.
  4. Aplicar la fórmula para encontrar el tiempo de asentamiento utilizando los valores obtenidos en los pasos anteriores.

Un ejemplo de cómo se aplicaría la fórmula en MATLAB sería el siguiente:

Supongamos que tenemos los siguientes datos de una señal perturbada:

Tiempo Valor
0 10
1 12
2 14
3 15
4 16
5 16
6 16
7 16
8 16

Para encontrar el tiempo de asentamiento, primero debemos encontrar el valor estable de la señal después de la perturbación. En este caso, el valor estable es 16.

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Luego, debemos calcular la pendiente de la recta que se ajusta a la curva de la señal. Para hacer esto, podemos utilizar la función polyfit de MATLAB:

coeficientes = polyfit(tiempo, valor, 1);

Donde tiempo y valor son los datos de tiempo y valor de la señal perturbada, respectivamente.

En este caso, la pendiente es de 0.25.

Finalmente, podemos aplicar la fórmula para calcular el tiempo de asentamiento:

ts = -ln(|(S-Ss)/Ss|)/δ

ts = -ln(|(10-16)/16|)/0.25

ts = 8.24

Por lo tanto, el tiempo de asentamiento de esta señal perturbada es de 8.24 segundos.

En resumen, para aplicar la fórmula en MATLAB y encontrar el tiempo de asentamiento, es necesario importar los datos de la señal perturbada, encontrar el valor estable de la señal después de la perturbación, calcular la pendiente de la recta que se ajusta a la curva de la señal y aplicar la fórmula

Ventajas y desventajas del tiempo de asentamiento.

El tiempo de asentamiento es un concepto fundamental en la ingeniería civil y la mecánica de fluidos, que se refiere al tiempo que tarda un fluido en alcanzar un estado de equilibrio después de haber sido perturbado por un cambio en las condiciones de flujo. En este artículo, exploraremos las ventajas y desventajas de considerar el tiempo de asentamiento en el diseño y análisis de sistemas hidráulicos.

Ventajas del tiempo de asentamiento

  • Permite predecir el comportamiento a largo plazo de los sistemas hidráulicos: al considerar el tiempo de asentamiento en el diseño y análisis de sistemas hidráulicos, es posible prever cómo el sistema responderá a cambios en las condiciones de flujo a largo plazo.
  • Facilita la optimización del diseño de los sistemas hidráulicos: al tener en cuenta el tiempo de asentamiento en el diseño de los sistemas hidráulicos, es posible optimizar la geometría y la configuración del sistema para minimizar los tiempos de asentamiento y mejorar el rendimiento.
  • Evita problemas de sedimentación y obstrucción en los sistemas hidráulicos: al considerar el tiempo de asentamiento, es posible evitar la acumulación de sedimentos y la obstrucción de tuberías y dispositivos de flujo, lo que puede mejorar la eficiencia y reducir los costos de mantenimiento.

Desventajas del tiempo de asentamiento

  • Requiere datos y modelos precisos: para poder considerar el tiempo de asentamiento en el diseño y análisis de sistemas hidráulicos, se requiere una comprensión precisa de las propiedades del fluido y de las condiciones de flujo, así como modelos matemáticos precisos que puedan simular el comportamiento del sistema.
  • Aumenta la complejidad del diseño y análisis de los sistemas hidráulicos: al considerar el tiempo de asentamiento, el diseño y análisis de los sistemas hidráulicos se vuelve más complejo y puede requerir herramientas y software especializados para llevar a cabo cálculos y simulaciones precisas.
  • No es relevante para todos los sistemas hidráulicos: en algunos casos, el tiempo de asentamiento puede ser un factor menos relevante para el rendimiento y la eficiencia de los sistemas hidráulicos, y su consideración puede no ser necesaria.

Al evaluar si considerar el tiempo de asentamiento es necesario en un proyecto en particular, es importante sopesar cuidadosamente los beneficios y las limitaciones de su inclusión en el análisis.

Uso de herramientas para el cálculo del tiempo de asentamiento.

Introducción:

El tiempo de asentamiento es un concepto importante en la ingeniería civil y ambiental, ya que se utiliza para determinar la capacidad de un suelo para soportar una carga determinada. Para calcular el tiempo de asentamiento, se pueden utilizar diversas herramientas, como las fórmulas matemáticas y los programas de software.

Fórmula para el cálculo del tiempo de asentamiento:

La fórmula básica para el cálculo del tiempo de asentamiento se expresa de la siguiente manera:

ts = (Cc * H^2) / (2.5 * log10[1 + (σp / σv)])

Donde:
ts: Tiempo de asentamiento en segundos.
Cc: Coeficiente de compresibilidad.
H: Altura de la capa de suelo.
σp: Esfuerzo de carga.
σv: Esfuerzo vertical efectivo.

Uso de MATLAB para el cálculo del tiempo de asentamiento:

MATLAB es una herramienta muy útil para el cálculo del tiempo de asentamiento, ya que cuenta con una amplia variedad de funciones y librerías especializadas en ingeniería civil y ambiental. Para utilizar MATLAB para el cálculo del tiempo de asentamiento, se pueden seguir los siguientes pasos:

  1. Definir los valores de las variables Cc, H, σp y σv.
  2. Utilizar la fórmula anterior para calcular el tiempo de asentamiento.
  3. Utilizar la función «plot» de MATLAB para graficar el tiempo de asentamiento en función de la altura de la capa de suelo.

Uso de otras herramientas para el cálculo del tiempo de asentamiento:

Además de MATLAB, existen otras herramientas que se pueden utilizar para el cálculo del tiempo de asentamiento, como por ejemplo:

  • Microsoft Excel: Esta herramienta cuenta con diversas funciones matemáticas y estadísticas que pueden ser utilizadas para el cálculo del tiempo de asentamiento.
  • GeoStudio: Este programa de software especializado en ingeniería geotécnica cuenta con diversas funciones y modelos matemáticos para el cálculo del tiempo de asentamiento.
  • Plaxis: Este programa de software especializado en ingeniería geotécnica cuenta con diversas herramientas para el análisis de la consolidación de suelos y el cálculo del tiempo de asentamiento.

Conclusión:

El tiempo de asentamiento es un concepto importante en la ingeniería civil y ambiental, ya que permite determinar la capacidad de un suelo para soportar una carga determinada. Para el cálculo del tiempo de asentamiento, se pueden utilizar diversas herramientas, como las fórmulas matemáticas y los programas de software. En particular, MATLAB es una herramienta muy útil para el cálculo del tiempo de asentamiento, ya que cuenta con una amplia variedad de funciones y librerías especializadas en ingeniería civil y ambiental. Sin embargo, existen otras herramientas que también pueden ser utilizadas para el cálculo del tiempo de asentamiento, como Microsoft Excel, GeoStudio y Plaxis.

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Evaluación de resultados del tiempo de asentamiento.

Una vez obtenido mediante la fórmula y el uso de MATLAB el tiempo de asentamiento de un sistema, es importante evaluar los resultados obtenidos para poder determinar si el proceso de sedimentación ha sido adecuado y si se han cumplido las especificaciones requeridas.

Parámetros a evaluar:

  • Altura del sedimento: se debe medir la altura del sedimento formado en el recipiente después de un tiempo determinado para asegurarse de que se ha alcanzado una cantidad suficiente de sedimentación.
  • Densidad del sedimento: se puede medir la densidad del sedimento para verificar que ésta se encuentra dentro de los valores esperados.
  • Velocidad de sedimentación: se puede evaluar la velocidad de sedimentación para asegurarse de que está dentro de los límites establecidos.
  • Uniformidad del sedimento: se puede verificar la uniformidad del sedimento para asegurarse de que no hay zonas de acumulación excesiva de partículas.

Ejemplo:

Supongamos que hemos obtenido un tiempo de asentamiento de 120 minutos para un sistema de particulas suspendidas en agua. Para evaluar los resultados, realizamos una serie de mediciones:

  • Medimos la altura del sedimento en el recipiente y obtenemos un valor de 15 cm. Este valor cumple con las especificaciones requeridas.
  • Medimos la densidad del sedimento y obtenemos un valor de 1.5 g/cm3. Este valor también cumple con las especificaciones requeridas.
  • Calculamos la velocidad de sedimentación dividiendo la altura del sedimento entre el tiempo de asentamiento y obtenemos un valor de 0.125 cm/min. Este valor se encuentra dentro de los límites establecidos.
  • Verificamos la uniformidad del sedimento y no encontramos zonas de acumulación excesiva de partículas.

En este ejemplo, podemos concluir que el proceso de sedimentación ha sido adecuado y que se han cumplido las especificaciones requeridas.

Evaluación de resultados del tiempo de asentamiento.

Una vez obtenido mediante la fórmula y el uso de MATLAB el tiempo de asentamiento de un sistema, es importante evaluar los resultados obtenidos para poder determinar si el proceso de sedimentación ha sido adecuado y si se han cumplido las especificaciones requeridas.

Parámetros a evaluar:

  • Altura del sedimento: se debe medir la altura del sedimento formado en el recipiente después de un tiempo determinado para asegurarse de que se ha alcanzado una cantidad suficiente de sedimentación.
  • Densidad del sedimento: se puede medir la densidad del sedimento para verificar que ésta se encuentra dentro de los valores esperados.
  • Velocidad de sedimentación: se puede evaluar la velocidad de sedimentación para asegurarse de que está dentro de los límites establecidos.
  • Uniformidad del sedimento: se puede verificar la uniformidad del sedimento para asegurarse de que no hay zonas de acumulación excesiva de partículas.

Ejemplo:

Supongamos que hemos obtenido un tiempo de asentamiento de 120 minutos para un sistema de particulas suspendidas en agua. Para evaluar los resultados, realizamos una serie de mediciones:

  • Medimos la altura del sedimento en el recipiente y obtenemos un valor de 15 cm. Este valor cumple con las especificaciones requeridas.
  • Medimos la densidad del sedimento y obtenemos un valor de 1.5 g/cm3. Este valor también cumple con las especificaciones requeridas.
  • Calculamos la velocidad de sedimentación dividiendo la altura del sedimento entre el tiempo de asentamiento y obtenemos un valor de 0.125 cm/min. Este valor se encuentra dentro de los límites establecidos.
  • Verificamos la uniformidad del sedimento y no encontramos zonas de acumulación excesiva de partículas.

En este ejemplo, podemos concluir que el proceso de sedimentación ha sido adecuado y que se han cumplido las especificaciones requeridas.

En conclusión, el tiempo de asentamiento es un parámetro importante en el análisis de sistemas dinámicos, ya que nos permite determinar el tiempo necesario para que una señal alcance su valor estacionario después de un cambio en las condiciones iniciales. Con la fórmula y la herramienta de MATLAB presentadas en este artículo, es posible calcular el tiempo de asentamiento de manera rápida y eficiente. Es importante destacar que este parámetro puede ser utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, desde el diseño de controladores hasta la evaluación de la calidad de señales en sistemas de comunicación. Por lo tanto, es esencial tener una buena comprensión del tiempo de asentamiento y cómo calcularlo.

En conclusión, el tiempo de asentamiento es el tiempo que tarda una señal en alcanzar su estado estable después de una perturbación. Para encontrar el tiempo de asentamiento en MATLAB, se puede utilizar la función stepinfo, que devuelve información sobre la respuesta al escalón de un sistema. La fórmula para calcular el tiempo de asentamiento depende del criterio utilizado, ya sea el 2% o el 5% del valor final. Es importante conocer el tiempo de asentamiento para evaluar la estabilidad y la precisión de un sistema, y así poder mejorar su desempeño.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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