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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Indice de contenidos

¿Qué es un filtro Butterworth?
Diseño de filtro de paso bajo Butterworth
Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden
Filtro Butterworth de segundo orden

¿Qué es un filtro Butterworth?

Un filtro Butterworth es un tipo de filtro de procesamiento de señal diseñado para tener una respuesta de frecuencia lo más plana posible en la banda de paso . Por lo tanto, el filtro Butterworth también se conoce como » filtro de magnitud máxima plana «. Fue inventado en 1930 por el ingeniero y físico británico Stephen Butterworth en su artículo titulado » Sobre la teoría de los amplificadores de filtro «.

La respuesta de frecuencia del filtro Butterworth es plana en la banda de paso (es decir, un filtro de paso de banda ) y baja hacia cero en la banda de parada. La tasa de respuesta de caída depende del orden del filtro. El número de elementos reactivos utilizados en el circuito del filtro decidirá el orden del filtro.

El inductor y el condensador son elementos reactivos que se utilizan en los filtros. Pero en el caso del filtro Butterworth solo se utilizan condensadores. Entonces, la cantidad de condensadores decidirá el orden del filtro.

Aquí, discutiremos el filtro Butterworth con un filtro de paso bajo. De manera similar, el filtro de paso alto se puede diseñar simplemente cambiando la posición de resistencia y capacitancia.

Diseño de filtro de paso bajo Butterworth

Al diseñar el filtro, el diseñador intenta lograr una respuesta cercana al filtro ideal. Es muy difícil hacer coincidir los resultados con la característica ideal exacta. Necesitamos utilizar filtros complejos de orden superior para lograr la característica cercana a la característica ideal.

Si aumenta el orden del filtro, también aumenta el número de etapas en cascada con el filtro. Pero en la práctica, no podemos lograr la respuesta de frecuencia ideal de Butterworth. Porque produce una ondulación excesiva en la banda de paso.

En el filtro Butterworth, matemáticamente es posible obtener una respuesta de frecuencia plana desde 0 Hz hasta la frecuencia de corte a -3dB sin rizado. Si la frecuencia es mayor que la frecuencia de corte, descenderá hacia cero con una tasa de -20 dB / década para el filtro de primer orden.

Si aumenta el orden del filtro, también aumenta la tasa de un período de caída. Y para el segundo orden, es de -40 dB / década. El factor de calidad del filtro Butterworth es 0,707.

La siguiente figura muestra la respuesta de frecuencia del filtro Butterworth para varios órdenes del filtro.

La forma generalizada de respuesta de frecuencia para el filtro de paso bajo Butterworth de n-ésimo orden es;

$[H (j omega) = frac {1} { sqrt {1+ varepsilon ^ 2 ( frac { omega} { omega_C}) ^ {2n}}} ]$

Donde,
n = orden del filtro,
ω = frecuencia de operación (frecuencia de banda de paso) del circuito
ω _C = Frecuencia de corte
ε = ganancia máxima de banda de paso = A _máx.

La siguiente ecuación se usa para encontrar el valor de ε.

$[H_1 = frac {H_0} { sqrt {1+ varepsilon ^ 2}} ]$

Donde,
H ₁ = ganancia de banda de paso mínima
H ₀ = ganancia de banda de paso máxima

Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden

El filtro de paso bajo es un filtro que permite que la señal con la frecuencia sea más baja que la frecuencia de corte y atenúa las señales con la frecuencia es mayor que la frecuencia de corte.

En el filtro de primer orden, el número de componentes reactivos es solo uno. La siguiente figura muestra el diagrama de circuito del filtro Butterworth de paso bajo de primer orden.

Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden

El filtro Butterworth de paso bajo es un filtro de paso bajo activo, ya que consta del amplificador operacional . Este amplificador operacional funciona en modo no inversor. Por lo tanto, la ganancia del filtro decidirá por el resistor R ₁ y R _F . Y la frecuencia de corte decide por R y C.

Ahora, si aplica la regla del divisor de voltaje en el punto Va y encuentra el voltaje en un capacitor. Se da como;

$[V_a = frac {-jX_C} {R-jX_C} V_ {in} ]$

$[V_a = frac {-j ( frac {1} {2 pi f C})} {Rj ( frac {1} {2 pi f C})} V_ {in} ]$

$[V_a = frac {-j} {2 pi fRC - j} V_ {in} ]$

$[V_a = frac {V_ {in}} {1- frac {2 pi fRC} {j}} ]$

$[V_a = frac {V_ {in}} {1 + j2 pi fRC} ]$

Debido a la configuración no inversora de un amplificador operacional,

$[V_0 = left (1+ frac {R_f} {R_1} right) V_a ]$

$[V_0 = left (1+ frac {R_f} {R_1} right) frac {V_ {in}} {1 + j2 pi fRC} ]$

$[ frac {V_0} {V_a} = frac {A_f} {1 + j frac {f} {f_c}} ]$

Dónde,

$[A_f = 1 + frac {R_F} {R_1} ]$

A _f = ganancia de filtro en banda de paso

$[f_c = frac {1} {2 pi RC} ]$

f _c = Frecuencia de corte
f = Frecuencia de operación

$[ frac {V_0} {V_a} = left | frac {V_0} {V_a} right | angle phi ]$

$[ left | frac {V_0} {V_a} right | = frac {A_f} { sqrt {1 + j left ( frac {f} {f_c} right) ^ 2}} ]$

$[ phi = - tan ^ {- 1} left ( frac {f} {f_c} right) ]$

A muy baja frecuencia, f << f _c
$[ left | frac {V_0} {V_a} right | approx A_f (constante) ]$

A la frecuencia de corte, f = f _c
$[ left | frac {V_0} {V_a} right | = frac {A_f} { sqrt {2}} = 0.707A_f ]$
A alta frecuencia, f> f _c
$[ left | frac {V_0} {V_a} right | <A_f ]$

La siguiente figura muestra la respuesta de frecuencia del filtro Butterworth de paso bajo de primer orden.

Filtro Butterworth de segundo orden

El filtro Butterworth de segundo orden consta de dos componentes reactivos. El diagrama de circuito de un filtro Butterworth de paso bajo de segundo orden es como se muestra en la siguiente figura.

En este tipo de filtro, la resistencia R y R _F son la retroalimentación negativa del amplificador operacional. Y la frecuencia de corte del filtro decide por R ₂ , R ₃ , C ₂ y C ₃ .

El filtro Butterworth de paso bajo de segundo orden consta de dos redes RC conectadas espalda con espalda. Y R _L es la resistencia de carga.

Los filtros Butterworth de primer y segundo orden son muy importantes. Porque podemos obtener un filtro Butterworth de orden superior simplemente conectando en cascada los filtros Butterworth de primer y segundo orden.

Analicemos el circuito del filtro Butterworth de segundo orden,

Aplicar la ley de la corriente de Kirchhoff en el punto V ₁ .

(1) $begin {ecuación *} frac {V_ {in} -V_1} {R_2} = frac {V_1-V_0} { frac {1} {sC_2}} + frac {V_1-V_a} {R_3} end {ecuación*}$

Usando la regla del divisor de potencial en el punto V _a

$[V_a = V_1 left [ frac { frac {1} {sC_3}} {R_3 + frac {1} {sC_3}} right] ]$

$[V_a = V_1 left [ frac { frac {1} {sC_3}} { frac {R_3 {sC_3} + {1}} {sC_3}} right] ]$

$[V_a = frac {V_1} {1 + sR_3C_3} ]$

Ponga el valor de V ₁ en la ecuación- (1)

$[ frac {V_ {in} -V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} = frac {V_a (1 + sR_3C_3) -V_0} { frac {1} {sC_2}} + frac {V_a (1 + sR_3C_3) -V_a} { frac {1} {R_3}} ]$

$[ frac {V_ {in}} {R_2} - frac {V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} = frac {V_a (1 + sR_3C_3)} { frac {1} {sC_2}} - frac {V_0} { frac {1} {sC_2}} + frac {V_a (1 + sR_3C_3)} {R_3} - frac {V_a} {R_3} ]$

$[ frac {V_ {in}} {R_2} + frac {V_0} { frac {1} {sC_2}} = frac {V_a (1 + sR_3C_3)} { frac {1} {sC_2}} + frac {V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} + frac {V_a (1 + sR_3C_3)} {R_3} - frac {V_a} {R_3} ]$

$[ frac {V_ {in}} {R_2} + V_0 sC_2 = V_a left [sC_2 (1 + sR_3C_3) + frac {(1 + sR_3C_3)} {R_2} + frac {(1 + sR_3C_3)} {R_3} - frac {1} {R_3} right] ]$

$[ frac {V_ {in} + V_0 sC_2 R_2} {R_2} = V_a left [ frac {R_3 R_2 sC_2 (1 + sR_3C_3) + R_3 (1 + sR_3C_3) + R_2 (1 + sR_3C_3) - R_2} {R_2R_3} right] ]$

$[R_3 (V_ {in} + V_0 sC_2 R_2) = V_a left [R_3 R_2 sC_2 (1 + sR_3C_3) + R_3 (1 + sR_3C_3) + R_2 (1 + sR_3C_3) - R_2 right] ]$

$[R_3 V_ {in} + V_0 sC_2 R_2 R_3 = V_a left [(1 + sR_3C_3) left (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 right) - R_2 right] ]$

$[V_a = frac {R_3 V_ {in} + V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) left (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 right) - R_2} ]$

Debido a la configuración no inversora de un amplificador operacional,

Dónde,

$[A_f = 1+ frac {R_f} {R_1} = Ganancia , de , filtro , en , banda de paso ]$

$[V_0 = A_f left [ frac {R_3 V_ {in} + V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) left (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 right) - R_2} right] ]$

$[V_0- frac {A_f V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) left (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 right) - R_2} = frac {A_f R_3 V_ {in}} {(1+ sR_3C_3) izquierda (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 derecha) - R_2}} ]$

$[V_0 left [(1 + sR_3C_3) (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2) - R_2 - A_f sC_2 R_2 R_3 right] = A_f R_3 V_ {in} ]$

$[ frac {V_0} {V_ {in}} = frac {A_f R_3} { left [(1 + sR_3C_3) (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2) - R_2 - A_f sC_2 R_2 R_3 right]} ]$

Reorganiza esta ecuación,

$[ frac {V_0} {V_ {in}} = frac {A_f R_3} { left [(1 + sR_3C_3) (R_2 + R_3 + sR_2R_3C_2) - R_2 - sA_fR_2 R_3C_2 right]} ]$

$[ frac {V_0} {V_ {in}} = frac {A_f R_3} { left [(R_2 + R_3 + sR_2R_3C_2 + sR_2R_3C_3 + sR_3 ^ 2 C_3 + s ^ 2R_2R_3 ^ 2C_2C_3) - R_fC_2 - s derecha ]} ]$

$[ frac {V_0} {V_ {in}} = frac {A_f R_3} {s ^ 2R_2R_3 ^ 2C_2C_3 + s (R_2R_3C_2 + R_2R_3C_3 + R_3 ^ 2C_3 - A_fR_2 R_3C_2) + R_3}$

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

winaycirculo@gmail.com

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