Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
La función de descripción es un procedimiento aproximado para analizar ciertos problemas de control no lineal en la ingeniería de control . Para empezar, recordemos primero la definición básica de un sistema de control lineal. Los sistemas de control lineal son aquellos en los que se aplica el principio de superposición (si las dos entradas se aplican simultáneamente, la salida será la suma de dos salidas). En el caso de sistemas de control altamente no lineales, no podemos aplicar el principio de superposición.
El análisis de diferentes sistemas de controles no lineales es muy difícil debido a su comportamiento no lineal. No podemos utilizar métodos de análisis convencionales como el criterio de estabilidad de Nyquist o el método de polo cero para analizar estos sistemas no lineales, ya que estos métodos están restringidos a sistemas lineales. Dicho esto, existen algunas ventajas para los sistemas no lineales:
- Los sistemas no lineales pueden funcionar mejor que los sistemas lineales.
- Los sistemas no lineales son menos costosos que los sistemas lineales.
- Suelen ser de tamaño pequeño y compacto en comparación con los sistemas lineales.
En la práctica, todos los sistemas físicos tienen alguna forma de no linealidad. A veces, incluso puede ser deseable introducir deliberadamente una no linealidad para mejorar el rendimiento de un sistema o hacer que su funcionamiento sea más seguro. Como resultado, el sistema es más económico que el sistema lineal.
Uno de los ejemplos más simples de un sistema con una no linealidad introducida intencionalmente es un sistema de encendido / apagado controlado por relé. Por ejemplo, en un sistema de calefacción doméstico típico, un horno se enciende cuando la temperatura cae por debajo de un cierto valor especificado y se apaga cuando la temperatura excede otro valor dado. Aquí vamos a discutir dos tipos diferentes de análisis o método para analizar los sistemas no lineales. Los dos métodos se describen a continuación y se analizan brevemente con la ayuda de un ejemplo.
- Descripción del método de función en el sistema de control.
- Método de plano de fase en el sistema de control
Indice de contenidos
No linealidades comunes
En la mayoría de los tipos de sistemas de control , no podemos evitar la presencia de ciertos tipos de no linealidades . Estos pueden clasificarse en estáticos o dinámicos. Un sistema para el que existe una relación no lineal entre entrada y salida, que no implica una ecuación diferencial, se denomina no linealidad estática. Por otro lado, la entrada y la salida pueden relacionarse mediante una ecuación diferencial no lineal. Tal sistema se llama no linealidad dinámica.
Ahora vamos a discutir varios tipos de no linealidades en un sistema de control :
- No linealidad de saturación
- No linealidad de fricción
- No linealidad de la zona muerta
- No linealidad del relé ( controlador ON OFF )
- No linealidad de la reacción
No linealidad de saturación
La no linealidad de la saturación es un tipo común de no linealidad. Por ejemplo, vea esta no linealidad en la saturación en la curva de magnetización del motor de CC . Para comprender este tipo de no linealidad, analicemos la curva de saturación o curva de magnetización que se da a continuación: 
De la curva anterior podemos ver que la salida muestra un comportamiento lineal al principio, pero después de eso hay una saturación en la curva que es de un tipo. de no linealidad en el sistema. También hemos mostrado una curva aproximada.
El mismo tipo de no linealidad de saturación también lo podemos ver en un amplificador para el cual la salida es proporcional a la entrada solo para un rango limitado de valores de entrada. Cuando la entrada excede este rango, la salida tiende a convertirse en no lineal.
No linealidad de fricción
Cualquier cosa que se oponga al movimiento relativo del cuerpo se llama fricción. Es una especie de no linealidad presente en el sistema. El ejemplo común en un motor eléctrico en el que encontramos un arrastre de fricción de coulomb debido al contacto de fricción entre las escobillas y el conmutador. 
La fricción puede ser de tres tipos y se describen a continuación:
- Fricción estática: En palabras simples, la fricción estática actúa sobre el cuerpo cuando el cuerpo está en reposo.
- Fricción dinámica: la fricción dinámica actúa sobre el cuerpo cuando hay un movimiento relativo entre la superficie y el cuerpo.
- Fricción limitante: Se define como el valor máximo de fricción limitante que actúa sobre el cuerpo cuando está en reposo.
La fricción dinámica también se puede clasificar como (a) Fricción por deslizamiento (b) Fricción por rodadura. La fricción deslizante actúa cuando dos cuerpos se deslizan uno sobre el otro mientras ruedan actúa cuando los cuerpos ruedan sobre otro cuerpo.
En el sistema mecánico tenemos dos tipos de fricción a saber (a) Fricción viscosa (b) Fricción estática.
No linealidad de la zona muerta
La no linealidad de la zona muerta se muestra en varios dispositivos eléctricos como motores, servomotores de CC , actuadores, etc. Las no linealidades de la zona muerta se refieren a una condición en la que la salida se vuelve cero cuando la entrada cruza cierto valor límite.
No linealidad de relés (controlador ON / OFF)
Los relés electromecánicos se utilizan con frecuencia en sistemas de control donde la estrategia de control requiere una señal de control con solo dos o tres estados. Esto también se denomina controlador ON / OFF o controlador de dos estados.
No linealidad del relé (a) ENCENDIDO / APAGADO (b) ENCENDIDO / APAGADO con histéresis (c) ENCENDIDO / APAGADO con zona muerta. La figura (a) muestra las características ideales de un relé bidireccional. En la práctica, el relé no responderá instantáneamente. Para las corrientes de entrada entre los dos instantes de conmutación, el relé puede estar en una posición u otra dependiendo del historial previo de la entrada. Esta característica se llama ON / OFF con histéresis que se muestra en la Fig (b). Un relé también tiene una cantidad definida de zona muerta en la práctica que se muestra en la Fig (c). La zona muerta es causada por el hecho de que el devanado del campo del relé requiere una cantidad finita de corriente para mover el inducido.
No linealidad de reacción
Otra no linealidad importante que ocurre comúnmente en el sistema físico es la histéresis en transmisiones mecánicas como trenes de engranajes y enlaces. Esta no linealidad es algo diferente de la histéresis magnética y se denomina comúnmente no linealidades de reacción . De hecho, el juego es el juego entre los dientes del engranaje impulsor y los del engranaje impulsado. Considere una caja de cambios como se muestra en la figura (a) a continuación que tiene un juego como se ilustra en la figura (b). 
La figura (b) muestra los dientes A del engranaje impulsado ubicado a medio camino entre los dientes B 1 , B 2del engranaje impulsado. La figura (c) muestra la relación entre los movimientos de entrada y salida. Como los dientes A se mueven en el sentido de las agujas del reloj desde esta posición, no se produce ningún movimiento de salida hasta que el diente A hace contacto con el diente B 1 del engranaje conducido después de recorrer una distancia x / 2. Este movimiento de salida corresponde al segmento mn de la figura (c). Después de hacer el contacto, el engranaje impulsado gira en sentido antihorario en el mismo ángulo que el engranaje impulsor si se supone que la relación de transmisión es la unidad. Esto se ilustra con el segmento de línea no. A medida que se invierte el movimiento de entrada, el contacto entre los dientes A y B 1 se pierde y el engranaje impulsado se vuelve inmediatamente estacionario basándose en el supuesto de que la carga está controlada por fricción con una inercia insignificante.
El movimiento de salida, por lo tanto, provoca que el diente A haya recorrido una distancia x en la dirección inversa como se muestra en la figura (c) por el segmento op. Después de que el diente A establece contacto con el diente B 2 , el engranaje impulsado ahora gira en el sentido de las agujas del reloj, como se muestra en el segmento pq. A medida que se invierte el movimiento de entrada, el engranaje de dirección vuelve a estar parado para el segmento qr y luego sigue al engranaje impulsor a lo largo de rn.
Descripción del análisis de funciones de sistemas no lineales
El método de función descriptiva en el sistema de control fue inventado por Nikolay Mitrofanovich Kryloy y Nikolay Bogoliubov en el año de 1930 y más tarde lo desarrolló Ralph Kochenburger.
El método de la función descriptiva se utiliza para averiguar la estabilidad de un sistema no lineal de todos los métodos analíticos desarrollados a lo largo de los años para los sistemas de control no lineal, este método generalmente se acepta como el más útil en la práctica. Este método es básicamente una extensión aproximada de los métodos de respuesta de frecuencia, incluido el criterio de estabilidad de Nyquist al sistema no lineal.
El método de función descriptiva de un sistema no lineal se define como la relación compleja de amplitudes y ángulo de fase entre componentes armónicos fundamentales de salida a sinusoide de entrada. También podemos llamar función descriptiva sinusoidal. Matemáticamente, 
donde,
N = función descriptiva,
X = amplitud de la sinusoide de entrada,
Y = amplitud del componente armónico fundamental de salida,
φ 1 = desplazamiento de fase del componente armónico fundamental de salida.
Analicemos el concepto básico de describir la función de un sistema de control no lineal.
Consideremos el siguiente diagrama de bloques de un sistema no lineal, donde G 1 (s) y G 2(s) representan el elemento lineal y N representan el elemento no lineal. 
Supongamos que la entrada x al elemento no lineal es sinusoidal, es decir, 
para esta entrada, la salida y del elemento no lineal será una función periódica no sinusoidal que puede expresarse en términos de series de Fourier como 
La mayoría de las no linealidades son impares simétrico o simétrico de media onda impar; el valor medio Y 0 para todos estos casos es cero y, por lo tanto, la salida será, 
As G 1 (s) G 2(s) tiene características de paso bajo, se puede suponer con un buen grado de aproximación que todos los armónicos más altos de y se filtran en el proceso, y la entrada x al elemento no lineal N es principalmente aportada por el componente fundamental de y, es decir, primero Armónicos. Entonces, en el análisis de la función descriptiva, asumimos que solo el componente armónico fundamental de la salida. Dado que los armónicos más altos en la salida de un sistema no lineal son a menudo de menor amplitud que la amplitud del componente armónico fundamental. La mayoría de los sistemas de control son filtros de paso bajo, con el resultado de que los armónicos más altos se atenúan mucho en comparación con el componente armónico fundamental.
Por tanto, sólo es necesario considerar y 1 . 
Podemos escribir y 1 (t) en la forma,
Donde al usar fasores, 
los coeficientes A 1 y B 1 de la serie de Fourier están dados por- 
De la definición de función descriptiva que tenemos, 
Averigüemos función descriptiva para estas no linealidades.
Descripción de la función para la no linealidad de saturación
Tenemos la curva característica de saturación como se muestra en la figura dada. 
Tomemos la función de entrada como 
Descripción de la función para el relé ideal
Tenemos la curva característica para el relé ideal como se muestra en la figura dada. 
Tomemos la función de entrada como
Descripción de la función para relé real (relé con zona muerta)
Tenemos la curva característica de verdad como se muestra en la figura dada. Si X es menor que la zona muerta Δ, entonces el relé no produce salida; el primer componente armónico de la serie de Fourier es, por supuesto, cero y la función descriptiva también es cero. Si X> Δ, el relé produce la salida. 
Tomemos la función de entrada como
Descripción de la función para la no linealidad de la reacción
Tenemos la curva característica del juego como se muestra en la figura dada. Tomemos la función de entrada como
