▷ Rise Time: ¿Qué es? (Ecuación y cómo calcularla)

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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Indice de contenidos

¿Qué es Rise Time?
Ecuación del tiempo de subida
- Tiempo de subida de un sistema de primer orden
- Tiempo de subida de un sistema de segundo orden
¿Cómo calcular el tiempo de subida?
- Sistema de primer orden
- Sistema de segundo orden
¿Por qué el tiempo de subida es del 10% al 90%?
Tiempo de subida vs tiempo de caída
Tiempo de subida y ancho de banda

¿Qué es Rise Time?

El tiempo de subida se define como el tiempo que tarda una señal en pasar de un valor bajo especificado a un valor alto especificado. En electrónica analógica y digital, el valor inferior especificado y el valor superior especificado son el 10% y el 90% del valor final o de estado estable. Por lo tanto, el tiempo de subida se define típicamente como el tiempo que tarda una señal en pasar del 10% al 90% de su valor final.

El tiempo de subida es un parámetro esencial en sistemas analógicos y digitales. Describe el tiempo que tarda la salida en subir de un nivel a otro en un sistema analógico, lo que tiene muchas implicaciones en el mundo real. El tiempo de subida nos dice cuánto tiempo pasa una señal en el estado intermedio entre dos niveles lógicos válidos en un sistema digital.

En la teoría de control, el tiempo de subida se define como el tiempo que tarda la respuesta en subir del X% al Y% de su valor final. El valor de X e Y varía según el tipo de sistema.

El tiempo de subida para los sistemas de segundo orden subamortiguados es del 0% al 100%, para los sistemas críticamente amortiguados es del 5% al 95% y para los sistemas sobreamortiguados es del 10% al 90%.

Ecuación del tiempo de subida

Para el cálculo en el análisis del dominio del tiempo, consideramos el sistema de primer orden y el sistema de segundo orden.

Entonces, para calcular la fórmula para el tiempo de subida, consideramos sistemas de primer y segundo orden.

Tiempo de subida de un sistema de primer orden

El sistema de primer orden se considera mediante la siguiente función de transferencia de bucle cerrado .

$[G (s) = frac {1} {Ts + 1} = frac {b} {s + a} ]$

En la función de transferencia, T se define como una constante de tiempo . Las características en el dominio del tiempo del sistema de primer orden se calculan en términos de la constante de tiempo T.

Ahora, suponga que la entrada de referencia del sistema de circuito cerrado es una función de paso unitario. Y se define en términos de la transformada de Laplace como;

$[R (s) = frac {1} {s} ]$

Entonces, la señal de salida se definirá como;

$[C (s) = frac {1} {Ts + 1} times frac {1} {s} ]$

$[C (s) = frac { frac {1} {T}} {s + frac {1} {T}} times frac {1} {s} ]$

$[C (s) = frac { frac {1} {T}} {s (s + frac {1} {T})} ]$

Resuelve esta ecuación usando una fracción parcial;

$[C (s) = frac {A_1} {s} + frac {A_2} {s + frac {1} {T}} ]$

Ahora, encuentre los valores de A ₁ y A ₂ ;

$[ frac {A_1} {s} + frac {A_2} {s + frac {1} {T}} = frac { frac {1} {T}} {s (s + frac {1} { T})} ]$

$[A_1 (s + frac {1} {T}) + A_2 s = frac {1} {T} ]$

Para s = 0;

$[A_1 (0+ frac {1} {T}) + A_2 (0) = frac {1} {T} ]$

$[A_1 frac {1} {T} = frac {1} {T} ]$

Para s = -1 / T;

$[A_1 ( frac {-1} {T} + frac {1} {T}) + A_2 ( frac {-1} {T}) = frac {1} {T} ]$

$[A_1 (0) - A_2 frac {1} {T} = frac {1} {T} ]$

Por lo tanto,

$[C (s) = frac {1} {s} + frac {-1} {s + frac {1} {T}} ]$

Tomando Laplace inversa;

$[C (t) = L ^ {- 1} left [ frac {1} {s} - frac {1} {s + frac {1} {T}} right] ]$

$[C (t) = 1-e ^ { frac {-t} {T}} ]$

Ahora, calculamos el tiempo de subida entre el 10% y el 90% del valor final.

$[C (t_ {10}) = 0.10 quad y quad C (t_ {90}) = 0.90 ]$

$[0.10 = 1 - e ^ { frac {t_ {10}} {T}} ]$

$[e ^ { frac {t_ {10}} {T}} = 1-0,10 ]$

$[e ^ { frac {t_ {10}} {T}} = 0.9 ]$

$[ frac {-t_ {10}} {T} = ln (0.9) ]$

$[t_ {10} = -T ln (0.9) ]$

$[t_ {10} = -T (-0.1053) ]$

$[t_ {10} = 0.1053T ]$

Similar;

$[0.90 = 1 - e ^ { frac {t_ {90}} {T}} ]$

$[e ^ { frac {t_ {90}} {T}} = 1 - 0.9 ]$

$[e ^ { frac {t_ {90}} {T}} = 0.1 ]$

$[ frac {-t_ {90}} {T} = ln (0.1) ]$

$[t_ {90} = -T (-2.3025) ]$

$[t_ {90} = 2.3025T ]$

Ahora, para el tiempo de subida t _r ;

$[t_r = t_ {90} - t_ {10} ]$

$[t_r approx 2.2T = frac {2.2} {a} ]$

Tiempo de subida de un sistema de segundo orden

En un sistema de segundo orden, el tiempo de subida se calcula del 0% al 100% para el sistema subamortiguado, del 10% al 90% para el sistema sobreamortiguado y del 5% al 95% para el sistema críticamente amortiguado.

Aquí, discutiremos el cálculo del tiempo de subida para un sistema de segundo orden. Y la ecuación para un sistema de segundo orden es;

$[C (t) = 1- frac {e ^ {- zeta omega_n t}} { sqrt {1- zeta ^ 2}} sin ( omega_d t_r + phi) ]$

El tiempo de subida se denota por t _r .

$[1 = 1 - frac {e ^ {- zeta omega_n t}} { sqrt {1- zeta ^ 2}} sin ( omega_d t_r + phi) ]$

$[ frac {e ^ {- zeta omega_n t}} { sqrt {1- zeta ^ 2}} sin ( omega_d t_r + phi) = 0 ]$

$[t_r = frac { pi - phi} { omega_d} ]$

Dónde,

$[ omega_d = omega_n sqrt {1- zeta ^ 2} ]$

$[ phi = tan ^ {- 1} ( frac { sqrt {1- zeta ^ 2})} { zeta} ]$

Por lo tanto, la fórmula final del tiempo de subida es;

$[t_r = frac { pi - tan ^ {- 1} ( frac { sqrt {1- zeta ^ 2})} { zeta}} { omega_n sqrt {1- zeta ^ 2} } ]$

¿Cómo calcular el tiempo de subida?

Sistema de primer orden

Por ejemplo, encuentre el tiempo de subida de un sistema de primer orden. La función de transferencia de un sistema de primer orden se muestra en la siguiente ecuación.

$[G (s) = frac {5} {s + 2} ]$

Compare la función de transferencia con la forma estándar de función de transferencia.

$[G (s) = frac {b} {s + a} ]$

Entonces; a = 2 y b = 5;

La ecuación del tiempo de subida para un sistema de primer orden es;

$[t_r = frac {2.2} {a} ]$

$[t_r = frac {2.2} {2} ]$

Sistema de segundo orden

Encuentre el tiempo de subida de un sistema de segundo orden con una frecuencia natural de 5 rad / seg y una relación de amortiguamiento de 0.6.

La ecuación del tiempo de subida para el sistema de segundo orden es;

$[t_r = frac { pi - phi} { omega_d} ]$

Ahora, necesitamos encontrar el valor de ф y ω _d .

$[ phi = tan ^ {- 1} left ( frac { sqrt {1- zeta ^ 2}} { zeta} right) ]$

$[ phi = tan ^ {- 1} left ( frac { sqrt {1-0.6 ^ 2}} {0.6} right) ]$

$[ phi = tan ^ {- 1} left ( frac { sqrt {1-0.36}} {0.6} right) ]$

$[ phi = tan ^ {- 1} left ( frac {0.8} {0.6} right) ]$

$[ phi = tan ^ {- 1} (1.33) ]$

Ahora, para ω _d ,

$[ omega_d = omega_n sqrt {1- zeta ^ 2} ]$

Ponga estos valores en la ecuación del tiempo de subida;

$[t_r = frac {3,14-0,9272} {4} ]$

$[t_r = frac {2.2128} {4} ]$

¿Por qué el tiempo de subida es del 10% al 90%?

Para calcular el tiempo de subida, no es obligatorio que tengamos que medir el tiempo entre el 10% y el 90%.

Pero en la mayoría de los casos, el tiempo de subida se calcula entre estos valores.

Usamos estos valores porque las señales pueden tener formas de onda muy diferentes en la primera y última parte de sus valores finales.

Por ejemplo, tome el patrón de cambio a continuación:

patrón de conmutación — Patrón de conmutación

Este estuvo en un valor de aproximadamente cero durante algún tiempo antes de elevarse y alcanzar su valor final.

No sería apropiado calcular el «tiempo de subida» desde que el valor estaba en cero, ya que esto no sería representativo del tiempo que tarda la señal en subir durante este estado intermedio (claramente hubo algún disparador que ocurrió al inicio de T _r ).

Al final, usamos el 90% en lugar del 100% porque a menudo las señales nunca alcanzarán su valor final.

De manera similar a como se ve un gráfico logarítmico, nunca llegará al 100% y el gradiente del gráfico disminuirá con el tiempo.

Entonces, para resumir: los dispositivos de conmutación tienen diferentes patrones de conmutación en las etapas inicial y final.

Pero durante la transición entre estas etapas, todos los dispositivos tienen un patrón de aumento similar. Y medir del 10% al 90% de esta transición generalmente proporciona una representación justa del tiempo de subida en una amplia gama de dispositivos.

Por lo tanto, en la mayoría de las condiciones, calculamos el tiempo de subida entre el 10% y el 90%.

Tiempo de subida vs tiempo de caída

El tiempo de caída se define como el tiempo que tarda una señal en caer (disminuir) desde un valor especificado (X) a otro valor especificado (Y).

En la mayoría de los casos, el valor especificado superior (X) es el 90% del valor máximo y el valor especificado inferior del 10% del valor máximo. A continuación se muestra un diagrama que ilustra el tiempo de caída.

tiempo de subida vs tiempo de caída — Tiempo de subida vs tiempo de caída

Entonces, en cierto sentido, el tiempo de caída puede considerarse el inverso del tiempo de subida, en términos de cómo se calcula.

Pero es importante subrayar que el tiempo de caída no es necesariamente igual al tiempo de subida.

A menos que tenga una onda simétrica (como una onda sinusoidal), el tiempo de subida y el tiempo de caída son independientes.

Y no existe una relación generalizada entre el tiempo de subida y el tiempo de caída. Ambas cantidades juegan un papel vital para el análisis de señales en sistemas de control y electrónica digital.

Tiempo de subida y ancho de banda

Para medir la señal de forma práctica, utilizamos un osciloscopio. Si conocemos el tiempo de subida de la señal, podemos encontrar el ancho de banda de la señal para probar.

Esto ayudará a elegir un osciloscopio con un ancho de banda mayor o igual. Y dará resultados de visualización precisos en el osciloscopio .

Si conocemos el tiempo de subida de la señal, podemos encontrar cuánto ralentizará el osciloscopio la señal y sumará a su tiempo de subida.

La relación entre el ancho de banda (BW) y el tiempo de subida (t _r ) se expresa mediante la fórmula siguiente.

$[BW approx frac {0.35} {t_r} ]$

La fórmula anterior supone que el tiempo de subida se mide en el rango del 10% al 90% del valor final.

Las unidades convenientes de ancho de banda son MHz o GHz y para el tiempo de subida μs o ns.

Si los amplificadores de entrada de un osciloscopio tienen una respuesta de frecuencia simple, el numerador 0.35 da un resultado preciso.

Pero muchos osciloscopios tienen una caída más rápida para dar una respuesta de frecuencia más plana en la banda de paso. En esta condición, el numerador aumentó a 0,45 o más.

Por ejemplo, cuando se muestra una onda cuadrada en un osciloscopio, tiene un tiempo de aumento del 10 al 90% de 1 ns. ¿Cuál será el ancho de banda aproximado del osciloscopio?

Sustituyendo estos números en la fórmula anterior,

$[BW = frac {3.5} {10 ^ {- 9}} = 3.5 times 10 ^ {- 9} = 350MHz ]$

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

winaycirculo@gmail.com