Diagrama de Bode, margen de ganancia y margen de fase (diagramas más)

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¿Qué es un diagrama de Bode?

Un diagrama de Bode es un gráfico comúnmente utilizado en la ingeniería de sistemas de control para determinar la estabilidad de un sistema de control . Un diagrama de Bode mapea la respuesta de frecuencia del sistema a través de dos gráficos: el diagrama de magnitud de Bode (que expresa la magnitud en decibelios) y el diagrama de fase de Bode (que expresa el cambio de fase en grados).

Las tramas de Bode fueron introducidas por primera vez en la década de 1930 por Hendrik Wade Bode mientras trabajaba en Bell Labs en los Estados Unidos. Aunque los diagramas de Bode ofrecen un método relativamente simple para calcular la estabilidad del sistema, no pueden manejar funciones de transferencia con singularidades de semiplano recto (a diferencia del criterio de estabilidad de Nyquist ).

Parcela de Bode
El margen de ganancia y el margen de fase que se muestran en un diagrama de Bode

Comprender los márgenes de ganancia y los márgenes de fase es fundamental para comprender los diagramas de Bode. Estos términos se definen a continuación.

Ganar margen

Cuanto mayor sea el margen de ganancia (GM), mayor será la estabilidad del sistema. El margen de ganancia se refiere a la cantidad de ganancia, que se puede aumentar o disminuir sin hacer que el sistema sea inestable. Por lo general, se expresa como una magnitud en dB.

Por lo general, podemos leer el margen de ganancia directamente desde el diagrama de Bode (como se muestra en el diagrama de arriba). Esto se hace calculando la distancia vertical entre la curva de magnitud (en el diagrama de magnitud de Bode) y el eje x en la frecuencia donde el diagrama de fase de Bode = 180 °. Este punto se conoce como frecuencia de cruce de fase .

Es importante darse cuenta de que la ganancia y el margen de ganancia no son lo mismo . De hecho, el margen de ganancia es el negativo de la ganancia (en decibelios, dB). Esto tendrá sentido cuando analicemos la fórmula del margen de ganancia.

Fórmula de margen de ganancia

La fórmula para el margen de ganancia (GM) se puede expresar como:

 begin {align *} GM = 0 - G  dB  end {align *}

Donde G es la ganancia. Esta es la magnitud (en dB) como se lee en el eje vertical del gráfico de magnitud en la frecuencia de cruce de fase.

En nuestro ejemplo que se muestra en el gráfico anterior, la ganancia ( G ) es 20. Por lo tanto, utilizando nuestra fórmula para el margen de ganancia, el margen de ganancia es igual a 0 – 20 dB = -20 dB (inestable).

Margen de fase

Cuanto mayor sea el margen de fase (PM), mayor será la estabilidad del sistema. El margen de fase se refiere a la cantidad de fase, que se puede aumentar o disminuir sin hacer que el sistema sea inestable. Suele expresarse como una fase en grados.

Por lo general, podemos leer el margen de fase directamente desde el diagrama de Bode (como se muestra en el diagrama de arriba). Esto se hace calculando la distancia vertical entre la curva de fase (en el diagrama de fase de Bode) y el eje x en la frecuencia donde el diagrama de magnitud de Bode = 0 dB. Este punto se conoce como frecuencia de cruce de ganancia .

Es importante darse cuenta de que el desfase y el margen de fase no son lo mismo . Esto tendrá sentido cuando miremos la fórmula del margen de fase.

Fórmula de margen de fase

La fórmula para el margen de fase (PM) se puede expresar como:

 begin {align *} PM =  phi - (- 180 ^ { circ})  end {align *}

Dónde fiestá el desfase (un número menor que 0). Esta es la fase que se lee en el eje vertical del gráfico de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

En nuestro ejemplo que se muestra en el gráfico anterior, el retraso de fase es -189 °. Por lo tanto, utilizando nuestra fórmula para el margen de fase, el margen de fase es igual a -189 ° – (-180 °) = -9 ° (inestable).

Como otro ejemplo, si la ganancia de bucle abierto de un amplificador cruza 0 dB a una frecuencia donde el retraso de fase es -120 °, entonces el retraso de fase es -120 °. Por lo tanto, el margen de fase de este sistema de retroalimentación es -120 ° – (-180 °) = 60 ° (estable).

Estabilidad del diagrama de Bode

A continuación se muestra una lista resumida de los criterios relevantes para dibujar diagramas de Bode (y calcular su estabilidad):

  1. Margen de ganancia: mayor será el margen de ganancia mayor será la estabilidad del sistema. Se refiere a la cantidad de ganancia, que se puede aumentar o disminuir sin que el sistema sea inestable. Suele expresarse en dB.
  2. Margen de fase: mayor será el margen de fase mayor será la estabilidad del sistema. Se refiere a la fase que se puede aumentar o disminuir sin que el sistema sea inestable. Suele expresarse en fase.
  3. Frecuencia de cruce de ganancia: se refiere a la frecuencia a la que la curva de magnitud corta el eje de cero dB en el diagrama de Bode.
  4. Frecuencia de cruce de fase: se refiere a la frecuencia a la que la curva de fase corta el negativo multiplicado por el eje de 180o en este gráfico.
  5. Frecuencia de esquina: la frecuencia a la que las dos asíntotas se cortan o se encuentran se conoce como frecuencia de ruptura o frecuencia de esquina.
  6. Frecuencia de resonancia: El valor de frecuencia en el que el módulo de G (jω) tiene un valor máximo se conoce como frecuencia de resonancia.
  7. Factores: Cada función de transferencia de bucle {es decir, G (s) × H (s)} producto de varios factores como el término constante K, factores integrales (jω), factores de primer orden (1 + jωT) (± n) donde n es un factores enteros, de segundo orden o cuadráticos.
  8. Pendiente: Hay una pendiente correspondiente a cada factor y la pendiente para cada factor se expresa en dB por década.
  9. Ángulo: Hay un ángulo correspondiente a cada factor y el ángulo para cada factor se expresa en grados.

Ahora bien, hay algunos resultados que conviene recordar para trazar la curva de Bode. Estos resultados se escriben a continuación:

  • Término constante K: este factor tiene una pendiente de cero dB por década. No hay una frecuencia de esquina correspondiente a este término constante. El ángulo de fase asociado con este término constante también es cero.
  • Factor integral 1 / (jω) n : este factor tiene una pendiente de -20 × n (donde n es un número entero) dB por década. No existe una frecuencia de esquina que corresponda a este factor integral. El ángulo de fase asociado con este factor integral es -90 × n. Aquí n también es un número entero.
  • Factor de primer orden 1 / (1 + jωT): este factor tiene una pendiente de -20 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es 1 / T radianes por segundo. El ángulo de fase asociado con este primer factor es -tan – 1 (ωT).
  • Factor de primer orden (1 + jωT): este factor tiene una pendiente de 20 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es 1 / T radianes por segundo. El ángulo de fase asociado con este primer factor es tan – 1 (ωT).
  • Factor cuadrático o de segundo orden: [{1 / (1+ (2ζ / ω)} × (jω) + {(1 / ω 2 )} × (jω) 2 )]: este factor tiene una pendiente de -40 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es ω n radianes por segundo. El ángulo de fase asociado con este primer factor es

Cómo dibujar un diagrama de Bode

Teniendo en cuenta todos los puntos anteriores, podemos dibujar un diagrama de Bode para cualquier tipo de sistema de control. Ahora analicemos el procedimiento para dibujar un diagrama de Bode:

  1. Sustituya s = jω en la función de transferencia de lazo abierto G (s) × H (s).
  2. Encuentre las frecuencias de esquina correspondientes y tabúlelas.
  3. Ahora se nos requiere que un gráfico semilogarítmico elija un rango de frecuencia tal que la gráfica debe comenzar con la frecuencia que sea más baja que la frecuencia de esquina más baja. Marque las frecuencias angulares en el eje x, marque las pendientes en el lado izquierdo del eje y marcando una pendiente cero en el medio y en el lado derecho marque el ángulo de fase tomando -180 o en el medio.
  4. Calcule el factor de ganancia y el tipo de orden del sistema.
  5. Ahora calcula la pendiente correspondiente a cada factor.

Para dibujar la gráfica de magnitud de Bode :

  • Marque la frecuencia de la esquina en el papel cuadriculado semilogarítmico.
  • Tabular estos factores moviéndose de arriba hacia abajo en la secuencia dada.
    1. Término constante K.
    2. Factor integral
    3. Factor de primer orden
    4. Factor de primer orden (1 + jωT).
    5. Factor cuadrático o de segundo orden:
  • Ahora dibuja la línea con la ayuda de la pendiente correspondiente del factor dado. Cambie la pendiente en cada frecuencia de esquina sumando la pendiente del siguiente factor. Obtendrá la gráfica de magnitud.
  • Calcule el margen de ganancia.

Para dibujar el diagrama de fase de Bode :

  1. Calcula la función de fase sumando todas las fases de factores.
  2. Sustituya varios valores a la función anterior para encontrar la fase en diferentes puntos y trazar una curva. Obtendrá una curva de fase.
  3. Calcula el margen de fase.

Criterio de estabilidad de Bode

Las condiciones de estabilidad se dan a continuación:

  1. Para un sistema estable: ambos márgenes deben ser positivos o el margen de fase debe ser mayor que el margen de ganancia.
  2. Para el sistema estable marginal: ambos márgenes deben ser cero o el margen de fase debe ser igual al margen de ganancia.
  3. Para sistema inestable: si alguno de ellos es negativo o el margen de fase debe ser menor que el margen de ganancia.

Ventajas de una parcela de Bode

  1. Se basa en la aproximación asintótica, que proporciona un método simple para trazar la curva de magnitud logarítmica.
  2. La multiplicación de varias magnitudes que aparece en la función de transferencia se puede tratar como una suma, mientras que la división se puede tratar como una resta, ya que estamos usando una escala logarítmica.
  3. Con la ayuda de este gráfico solo podemos comentar directamente sobre la estabilidad del sistema sin hacer ningún cálculo.
  4. Los diagramas de Bode proporcionan una estabilidad relativa en términos de margen de ganancia y margen de fase .
  5. También cubre desde el rango de baja frecuencia hasta el de alta frecuencia.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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