Ecuación de onda de Schrödinger: derivación y explicación

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¿Qué es la ecuación de Schrodinger?

¿Qué es la ecuación de Schrodinger?

La ecuación de Schrödinger (también conocida como ecuación de onda de Schrödinger ) es una ecuación diferencial parcial que describe la dinámica de los sistemas mecánicos cuánticos a través de la función de onda. La trayectoria, el posicionamiento y la energía de estos sistemas se pueden recuperar resolviendo la ecuación de Schrödinger.

Toda la información de una partícula subatómica está codificada dentro de una función de onda. La función de onda satisfará y se puede resolver utilizando la ecuación de Schrodinger. La ecuación de Schrodinger es uno de los axiomas fundamentales que se introducen en la física de pregrado. También es cada vez más común encontrar la ecuación de Schrödinger que se está introduciendo dentro del programa de estudios de ingeniería eléctrica en las universidades, ya que es aplicable a los semiconductores .

Desafortunadamente, solo se establece como un postulado en ambos casos y nunca se deriva de manera significativa. Esto es bastante insatisfactorio, ya que casi todo lo demás que se enseña en la física cuántica de pregrado se basa en esta base. En este artículo, derivaremos la ecuación desde cero y haré todo lo posible para mostrar cada paso dado.

Curiosamente, los argumentos que haremos son los mismos que los adoptados por el propio Schrödinger para que pueda ver las líneas de pensamiento que estaba haciendo un gigante en su tiempo. Como recordatorio, aquí está la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en 3 dimensiones (para una partícula no relativista) en toda su belleza:

Ecuación de Schrodinger
La ecuación de Schrodinger

Física cuántica y ondas

A todo el mundo le gusta embolsarse la física clásica, pero nos sirvió bastante bien durante bastante tiempo (piense en la mecánica newtoniana, las ecuaciones de Maxwell y la relatividad especial).

Sin embargo, como se muestra en nuestros artículos anteriores, los resultados experimentales en el cambio de siglo no parecían demasiado deslumbrantes en comparación con la física conocida en ese momento. Nuestros artículos sobre el experimento de la doble rendija y, hasta cierto punto, el efecto fotoeléctrico son resultados experimentales que no coincidían bien con la comprensión conocida de la época.

¿Pero por qué? En pocas palabras, en la física clásica existen dos entidades, partículasyondas. Las características de ambas entidades se pueden describir de la siguiente manera:

  • Partículas: haces localizados de energía y momento con masa m.
  • Ondas: perturbaciones que se extienden por los viajes espaciales a lo largo del tiempo. Se pueden describir con una función de onda  psi ( vec {r}, t)

Esto nos lleva a los sorprendentes resultados que se encuentran en nuestro artículo sobre emisiones fotoeléctricas . Descubrimos que el electrón muestra ambas propiedades. Esto estaba en completa contradicción con la comprensión conocida de la época, ya que las dos entidades se consideraban mutuamente excluyentes.

Loco, ¿verdad? Aproximadamente en este momento, algunas figuras realmente influyentes en la física comenzaron a darse cuenta de que había una brecha en el conocimiento, y se produjo un gran avance cuando Louis de Broglie asoció un impulso (para una partícula) a una longitud de onda (para ondas) dada por

 begin {ecuación *} p = h /  lambda.   end {ecuación *}

Además, por Emisión Fotoeléctrica sabemos que la absorción de energía y la emisión de fotones (aún sin saber si partícula u onda) tienen energía dada por:

 begin {ecuación *} E = hf =  hbar  omega  end {ecuación *}

Dónde  hbar = h / 2  piy  omega = 2  pi f. Ahora estamos exactamente en la misma etapa en la que estaba Schrödinger antes de derivar su famosa ecuación. Pero, ¿por dónde empezamos? Bueno, sabemos que los electrones y fotones muestran un comportamiento similar a ondas y partículas. No habría nada de malo en comenzar con una ecuación universal que todas las ondas deberían obedecer y luego introducir la física de partículas en la parte superior para ver si hay un resultado.

Cómo derivar la ecuación de onda

La perturbación  psi ( vec {r}, t)

 begin {align *}  nabla  times  vec {E} & = -  frac { partial { vec {B}}} { partial {t}} \  nabla  times  vec {B} & = -  mu_0  left ( vec {J} +  epsilon_0  frac { partial { vec {E}}} { partial {t}}  right) \  nabla  cdot  vec {E} & =  frac { rho} { epsilon_0} \  nabla  cdot  vec {B} & = 0  end {align *}

Donde Cestá la velocidad de la luz en el vacío,  vec {E}es el campo eléctrico y  vec {B}es el campo magnético. La primera ecuación anterior es la base de los generadores, inductores y transformadores eléctricos y es la encarnación de la Ley de Faraday.

Además, una de las implicaciones de  nabla  cdot  vec {B} = 0es que no existen monopolos magnéticos. Comprender la derivación de estas ecuaciones y el significado físico detrás de ellas lo convierte en un ingeniero completo. Ahora, derivemos la ecuación que cualquier onda electromagnética debe obedecer aplicando un rizo a la Ecuación 4:

 begin {align *}  nabla  times  vec {E} & = -  frac { partial { vec {B}}} { partial {t}} \  implica  nabla  times ( nabla  tiempos  vec {E}) & = -  frac { parcial {( nabla  tiempos  vec {B})}} { parcial {t}} \  implica  nabla  tiempos ( nabla  tiempos  vec {E}) & = -  frac {1} {c ^ 2}  frac { partial ^ 2 { vec {E}}} { partial {t ^ 2}}  end {align *}

Ahora podemos aprovechar una identidad de vector muy familiar (y fácilmente probada): ¿  nabla  times ( nabla  times T) =  nabla ( nabla  cdot T) -  nabla ^ 2Tdónde Testá algún vector de marcador de posición? Aplicando a nuestra pequeña ecuación ahora:

 begin {align *}  nabla ( nabla  cdot  vec {E}) -  nabla ^ 2  vec {E} & = -  frac {1} {c ^ 2}  frac { partial ^ 2 {  vec {E}}} { partial {t ^ 2}} \  implica -  nabla ^ 2  vec {E} & = -  frac {1} {c ^ 2}  frac { partial ^ 2 { vec {E}}} { parcial {t ^ 2}} \  nabla ^ 2  vec {E} -  frac {1} {c ^ 2}  frac { parcial ^ 2 { vec { E}}} { parcial {t ^ 2}} & = 0  end {align *}

El resultado que tenemos aquí es la ecuación de onda electromagnética en 3 dimensiones. Esta ecuación se manifiesta no solo en una onda electromagnética, sino que también se ha mostrado en acústica ascendente, ondas sísmicas, ondas de sonido, ondas de agua y dinámica de fluidos.

Cómo derivar la ecuación de Schrödinger

Soluciones de onda plana a la ecuación de onda

Comenzando con la ecuación de onda de 1 dimensión (que es muy fácil generalizar a 3 dimensiones después que la lógica se aplicará en todos x, yy z

 begin {ecuación *}  frac {{ parcial ^ 2 {E}}} { parcial ^ 2 {x}} =  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 {E} }} { partial ^ 2 {t}}  Longrightarrow  frac {{ partial ^ 2 {E}}} { partial ^ 2 {x}} -  frac {1} {c ^ 2}  frac {{  parcial ^ 2 {E}}} { parcial ^ 2 {t}} = 0  end {ecuación *}

Esta es, en realidad, una ecuación diferencial parcial de segundo orden y se satisface con soluciones de onda plana:

 begin {ecuación *} E (x, t) = E_0 e ^ {i (kx -  omega t)}  text {(¡compruébalo tú mismo!).  }  end {ecuación *}

Donde sabemos por la mecánica ondulatoria normal que k =  frac {2  pi} { lambda}y  omega = 2  pi f. Ahora, hagamos uso del trabajo de Einstein y Compton y sustituyémoslo por el hecho de que la energía de un fotón viene dada por  mathsf {E} =  hbar  omegay de De-Broglie p = h /  lambda =  hbar k. Podemos masajear aún más nuestra solución de onda plana para:

 begin {ecuación *} E (x, t) = E_0 e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)}  end {ecuación *}

Esta es la ecuación de onda plana que describe un fotón. ¡Sustituyamos esta ecuación en nuestra ecuación de onda y veamos qué encontramos!

 begin {align *}  left ( frac {{ partial ^ 2 {}}} { partial ^ 2 {x}} -  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ partial ^ 2 { }}} { parcial ^ 2 {t}}  derecha) E_0 e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} & = 0 \  implica -  frac { 1} { hbar ^ 2}  left (p ^ 2 -  frac { mathsf {E} ^ 2} {c ^ 2}  right) E_0 e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} & = 0  end {align *}

En otras palabras, lo  mathsf {E} ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2cual es genial porque sabemos por la relatividad especial que la energía total para una partícula relativista con masa metroes:

 begin {ecuación *}  mathsf {E} ^ 2 = p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4  end {ecuación *}

¡Y hasta ahora solo hemos estado tratando con el fotón que no tiene masa (m = 0)! Así que ampliemos nuestra comprensión y apliquemos la energía relativista total para una partícula con masa (como el electrón, por ejemplo) y cambiemos el nombre de nuestra ecuación a  Psiporque somos ballers.

 begin {ecuación *} -  frac {1} { hbar ^ 2}  left (p ^ 2 -  frac { mathsf {E} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2c ^ 2  right)  Psi e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} = 0  end {ecuación *}

Ahora bien, esta ecuación vino directamente de sustituir la ecuación de onda plana por un fotón en la ecuación de onda. Sin embargo, dado que ahora queremos que la energía resuelva la energía relativista total para una partícula con masa, necesitamos cambiar ligeramente la ecuación de onda. Esto se debe a que la ecuación de onda no debería aplicarse completamente a nuestro nuevo Psique describe partículas y ondas. Ahora podemos realizar una resolución inversa para que un operador obtenga la ecuación anterior, y está dada por:

 begin {ecuación *}  left ( frac {{ parcial ^ 2 {}}} { parcial ^ 2 {x}} -  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 { }}} { parcial ^ 2 {t}} -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2}  right)  Psi e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} = 0  end {ecuación *}

Resolver partículas con masa en la ecuación de onda

Ahora queremos hacer algunas aproximaciones sobre la energía total que acabamos de describir  mathsf {E}para una partícula con cantidad de movimiento y masa. Reorganicemos la fórmula ligeramente para que podamos usar algunas aproximaciones.

 begin {align *}  mathsf {E} ^ 2 & = p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4 \  mathsf {E} & =  sqrt { left (p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4  right)} \ & =  sqrt { left (c ^ 4 ( frac {p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2)  right)} \ & =  sqrt { left (c ^ 4 m ^ 2 ( frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1)  right)} \ & = mc ^ 2  sqrt { left ( frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1  right)}  end {align *}

El objetivo de esta manipulación es obtener la ecuación en la forma  sqrt {1 + x}porque si tomamos una expansión de la serie de Taylor de esta ecuación obtenemos:

 begin {ecuación *}  sqrt {1 + x}  approx 1 +  frac {x} {2} -  frac {x ^ 2} {8} +  frac {x ^ 3} {16} + .. .  end {ecuación *}

Cuando Xes pequeño, la única parte que queda en la expansión de Taylor es el O (1)término. En nuestra fórmula de la energía, x =  frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} =  left ( frac {p} {mc}  right) ^ 2. Podemos aprovechar el hecho de que p = mv  ll mcpara cualquier cosa que no viaje a la velocidad de la luz (por favor, búsqueme si encuentra algo que no satisfaga esto). Entonces, este término en realidad se reduce a:

 begin {align *}  mathsf {E} & = mc ^ 2  sqrt { left ( frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1  right)} \ &  approx mc ^ 2  left (1 +  frac {1} {2}  frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2}  right) \ & = mc ^ 2 +  frac {p ^ 2} {2m} = mc ^ 2 + E _ { text {cinético}}  end {align *}

Dónde

 begin {ecuación *} E_  text {cinética} =  frac {1} {2} mv ^ 2 =  frac {1} {2}  frac {(mv) ^ 2} {m} =  frac {p ^ 2} {2m}  end {ecuación *}

Es la energía cinética normal que vemos en la física de la escuela secundaria. Ahora, de vuelta a la función de onda de antes, ingresemos esta nueva información y veamos con qué terminamos:

 begin {align *}  Psi ( vec {r}, t) & =  Psi_0 e ^ { frac {i} { hbar} (p  vec {r} -  mathsf {E} t)}   & =  Psi_0 e ^ { frac {i} { hbar} (p  vec {r} - mc ^ 2t - E _ { text {kinetic}} t)} \ & = e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  Psi_0 e ^ { frac {i} { hbar} (p  vec {r} - E _ { text {kinetic}} t)} \  end {align *}

La razón por la que ahora hemos dividido los dos términos es que el primer término e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}(solo basado en la velocidad de la luz nuevamente) será significativamente más oscilatorio que el del segundo término y no necesariamente describe la entidad de onda de partículas que buscamos. Entonces, para solidificar esta diferencia, establezcamos ahora que:

 begin {ecuación *}  Psi ( vec {r}, t) = e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi ( vec {r}, t)  end {ecuación *}

Donde ahora hemos definido:

 begin {ecuación *}  psi ( vec {r}, t) =  Psi_0 e ^ { frac {i} { hbar} (p  vec {r} - E _ { text {kinetic}} t) }.   end {ecuación *}

Tomemos ahora la primera y segunda derivadas parciales de  Psi ( vec {r}, t)y veamos con qué terminamos. El primero:

 begin {ecuación *}  frac { parcial { Psi}} { parcial t} = -  frac {i} { hbar} mc ^ 2e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t }  psi ( vec {r}, t) + e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi ( vec {r}, t)} { parcial t}  end {ecuación *}

y el segundo:

 begin {ecuación *}  frac { parcial ^ 2 { Psi}} { parcial t ^ 2} =  left (-  frac {m ^ 2c ^ 4} { hbar ^ 2} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac {2i} { hbar} mc ^ 2e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi } { t parcial}  derecha) + e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial ^ 2  psi} { t parcial ^ 2}  end {ecuación *}

Debemos tener en cuenta que el último término con la segunda derivada parcial es bastante pequeño debido al hecho de que no existe un c ^ 2término que lleve el orden de magnitud y, por lo tanto, por aproximación, la segunda derivada real está dada por:

 begin {align *}  frac { parcial ^ 2 { Psi}} { parcial t ^ 2}  approx  left (-  frac {m ^ 2c ^ 4} { hbar ^ 2} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac {2i} { hbar} mc ^ 2e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi} { t parcial}  derecha)  end {alinear *}

La razón engañosa por la que tomamos estas dos derivadas parciales fue para poder imputarlas en esta ecuación que describe la función de onda anteriormente:

 begin {ecuación *}  left ( frac {{ parcial ^ 2 {}}} { parcial ^ 2 {x}} -  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 { }}} { parcial ^ 2 {t}} -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2}  right)  Psi e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} = 0  end {ecuación *}

Pero antes de que podamos hacer eso, reorganicemos esta fórmula y terminaremos con una ecuación llamada ecuación de Klein-Gordon:

 begin {align *}  left ( frac {{ partial ^ 2 {}}} { partial ^ 2 {x}} -  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ partial ^ 2 { }}} { parcial ^ 2 {t}} -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2}  right)  Psi_0 e ^ { frac {i} { hbar} (px -  mathsf {E} t)} & = 0 \  frac {{ partial ^ 2 { Psi (x, t)}}} { partial ^ 2 {x}} -  frac {m ^ 2c ^ 2} {  hbar ^ 2}  Psi (x, t) & =  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 { Psi (x, t)}}} { parcial ^ 2 {t }}  end {align *}

Ahora podemos generalizar fácilmente esto a 3 dimensiones convirtiendo esta ecuación en una ecuación vectorial (todos los pasos que tomamos para derivar esta fórmula se aplicarán a todos x, yy z

 begin {ecuación *}  nabla ^ 2  Psi ( vec {r}, t) -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2}  Psi ( vec {r}, t) =  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 { Psi ( vec {r}, t)}}} { parcial ^ 2 {t}}  end {ecuación *}

Esta ecuación se conoce como ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre. Esta ecuación es relativista ya que su término de energía no hace suposiciones que hicimos con la pequeña  sqrt {1 + x}expansión de Taylor.

Ahora, simplifiquemos la ecuación de Klein-Gordon (volviendo a 1-D y aplicando nuestra nueva fórmula de energía) y llegaremos a la tan esperada Ecuación de Schrödinger:

 begin {align *}  frac {{ partial ^ 2 { Psi}}} { partial ^ 2 {x}} -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2}  Psi & =  frac {1} {c ^ 2}  frac {{ parcial ^ 2 { Psi}}} { parcial ^ 2 {t}}  end {align *}

Pongamos nuestra nueva función de onda dada por  Psi ( vec {r}, t) = e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi ( vec {r}, t)donde sabemos cómo se ven la primera y segunda derivadas con respecto al tiempo:

 begin {align *}  frac {{ partial ^ 2 {}}} { partial ^ 2 {x}} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac { m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi & =  frac {1} {c ^ 2}  left (-  frac { m ^ 2c ^ 4} { hbar ^ 2} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac {2i} { hbar} mc ^ 2e ^ {-  frac { i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi} { parcial t}  derecha) + e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi} { t parcial} \  frac {{ parcial ^ 2 {}}} { parcial ^ 2 {x}} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi & =  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac {m ^ 2c ^ 2} { hbar ^ 2 } e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi -  frac {2i} { hbar} me ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac {  parcial  psi} { t parcial} + e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial ^ 2  psi} { t parcial ^ 2} \  frac { { parcial ^ 2 {}}} { parcial ^ 2 {x}} e ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  psi &= -  frac {2i} { hbar} yo ^ {-  frac {i} { hbar} mc ^ 2t}  frac { parcial  psi} { parcial t} \ e ^ {-  frac { i} { hbar} mc ^ 2t}  left ( frac {{ partial ^ 2 { psi}}} { partial ^ 2 {x}} +  frac {2im} { hbar}  frac { parcial  psi} { parcial t}  derecha) & = 0  end {align *}

Ahora todo lo que necesitamos hacer es una simple reorganización para obtener la Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones (tenga en cuenta que  frac {1} {i} = -i):

 begin {ecuación *} i  hbar  frac { parcial {}} { parcial {t}}  Psi ( vec {r}, t) =  frac {-  hbar ^ 2} {2 m}  nabla ^ 2  Psi ( vec {r}, t)  end {ecuación *}

Donde el argumento se puede hacer observando la similitud del hamiltoniano clásico de que el término en el lado derecho de la ecuación describe la energía total de la función de onda.

En nuestra derivación, asumimos que V ( vec {r}, t)es 0 y que solo se tuvo en cuenta la energía cinética. Sabemos que el potencial es puramente aditivo con respecto a sus variaciones espaciales y por lo tanto, la Ecuación de Schrödinger completa en tres dimensiones con potencial viene dada por:

 begin {ecuación *} i  hbar  frac { parcial {}} { parcial {t}}  Psi ( vec {r}, t) =  left [ frac {-  hbar ^ 2} {2 m}  nabla ^ 2 + V ( vec {r}, t)  right]  Psi ( vec {r}, t).   end {ecuación *}

¡Eso es todo! Ahí lo tenemos, este artículo ha derivado la ecuación de Schrodinger completa para una partícula no relativista en tres dimensiones. Si le ha gustado esta publicación y le gustaría ver más como esta, envíenos un correo electrónico para hacérnoslo saber.

Citas

  1. Gasiorowicz, S. (2019). Física cuántica . 2ª ed. Canadá: Hamilton Printing, págs. 1-50.
  2. Griffiths, D. (2019).Física cuántica . 3ª ed. Imprenta de la Universidad, Cambridge: Cambridge University Press.
  3. Ward, D. y Volkmer, S. (2019).Cómo derivar la ecuación de Schrodinger . [en línea] arXiv.org. Disponible en: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Consultado el 29 de mayo de 2019].
  4. Shankar, R. (1980). Principios de la mecánica cuántica . 1ª ed. Nueva York: Springer Science, págs. 1-40.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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