Error de estado estable: ¿Qué es? (Fórmula, valor y ganancia en estado estacionario)

Ultima edición el 21 septiembre, 2023

En el estudio de los sistemas de control, uno de los conceptos fundamentales es el estado estacionario. Este se refiere a la situación en la que el sistema ha alcanzado un equilibrio y sus variables de salida se mantienen constantes ante una entrada constante. Sin embargo, en algunos casos, puede ocurrir un error de estado estable, lo que significa que la salida del sistema no coincide con el valor deseado a largo plazo.

Este error puede ser causado por diversos factores, como la presencia de perturbaciones en el sistema, la falta de precisión en los componentes o la incorrecta selección de los parámetros de control. Para medir la magnitud de este error, se utilizan la fórmula, el valor y la ganancia en estado estacionario, que nos permiten cuantificar la diferencia entre la salida real y la deseada.

En este artículo, exploraremos en detalle qué es el error de estado estable, cómo se calcula y cuáles son sus implicaciones en el diseño y la implementación de sistemas de control. Además, discutiremos algunas estrategias para minimizar este error y mejorar la eficiencia y la precisión de los sistemas de control.

Definición de error de estado estable

El error de estado estable es una medida de la precisión de un sistema de control en su funcionamiento en estado estacionario. Este tipo de error se produce cuando la salida del sistema no alcanza el valor deseado en un intervalo de tiempo largo y estable, aunque la entrada del sistema se mantenga constante.

Tipos de error de estado estable

Existen tres tipos de error de estado estable:

• Error de posición: este error se produce cuando la salida del sistema no alcanza el valor deseado en el estado estacionario.
• Error de velocidad: este error se produce cuando la velocidad de la salida del sistema no alcanza el valor deseado en el estado estacionario.
• Error de aceleración: este error se produce cuando la aceleración de la salida del sistema no alcanza el valor deseado en el estado estacionario.

Fórmula para el cálculo del error de estado estable

La fórmula para el cálculo del error de estado estable depende del tipo de sistema de control que se esté utilizando. Sin embargo, en términos generales, la fórmula es:

Error de estado estable = Valor deseado – Valor real en estado estacionario

Valor y ganancia en estado estacionario

El valor en estado estacionario es el valor de la salida del sistema cuando la entrada del sistema se ha mantenido constante durante un intervalo de tiempo largo y estable. La ganancia en estado estacionario es la relación entre la salida del sistema y la entrada del sistema en estado estacionario.

En términos matemáticos, la ganancia en estado estacionario se expresa como:

Ganancia en estado estacionario = Valor en estado estacionario / Valor de la entrada en estado estacionario

Es necesario conocer los diferentes tipos de error de estado estable y la fórmula para su cálculo, así como el valor y la ganancia en estado estacionario, para poder analizar y mejorar el rendimiento de un sistema de control.

Estado estacionario

El estado estacionario es un concepto utilizado en la teoría de control para describir el comportamiento de un sistema cuando ha alcanzado un equilibrio de operación constante. En otras palabras, es el punto en el que el sistema no muestra cambios significativos en su respuesta a una entrada determinada.

¿Qué es el Error de Estado Estable?

El Error de Estado Estable se refiere a la diferencia entre la entrada deseada y la salida real del sistema en el estado estacionario. Es decir, es el error que se produce cuando el sistema alcanza el equilibrio de operación constante.

Fórmula del Error de Estado Estable

La fórmula del Error de Estado Estable se expresa como:

ESS = lim _t→∞ e(t)

Donde:

• ESS: Error de Estado Estable
• e(t): Función de error que representa la diferencia entre la entrada deseada y la salida real del sistema en el tiempo t.

Valor del Error de Estado Estable

El valor del Error de Estado Estable depende del tipo de entrada aplicada al sistema. En general, existen tres tipos de entradas:

• Entrada escalón: En este caso, la entrada cambia abruptamente de un valor a otro. El valor del Error de Estado Estable en este caso es igual a:

ESS_escalon = lim _s→0 sE(s)

• Entrada rampa: En este caso, la entrada aumenta de manera constante con el tiempo. El valor del Error de Estado Estable en este caso es igual a:

ESS_rampa = lim _s→0 s²E(s)

• Entrada parabólica: En este caso, la entrada aumenta con el tiempo de manera cuadrática. El valor del Error de Estado Estable en este caso es igual a:

ESS_parabolica = lim _s→0 s³E(s)

Ganancia en Estado Estacionario

La ganancia en Estado Estacionario se refiere a la relación entre la salida en el estado estacionario y la entrada aplicada al sistema. Esta ganancia se expresa como:

K_ss = lim _s→0 Y(s)/X(s)

Donde:

• K_ss: Ganancia en Estado Estacionario
• Y(s): Función de transferencia de la salida del sistema
• X(s): Función de transferencia de la entrada del sistema

El Error de Estado Estable y la ganancia en Estado Estacionario son dos medidas clave que nos ayudan a analizar y diseñar sistemas de control para asegurar que se comporten de manera óptima en el estado estacionario.

Fórmula para calcular el error de estado estable

El error de estado estable es la diferencia entre el valor real y el valor deseado de un sistema en estado estacionario. Para calcular el error de estado estable, se utiliza una fórmula que toma en cuenta la ganancia en estado estacionario (Kp), el valor deseado (R) y el valor real (Y).

Fórmula:

El error de estado estable se calcula de la siguiente manera:

Es = R – Y/Kp

Donde:

• Es: Error de estado estable
• R: Valor deseado
• Y: Valor real
• Kp: Ganancia en estado estacionario

La fórmula se puede utilizar para cualquier tipo de sistema, ya sea mecánico, eléctrico, hidráulico, entre otros.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un sistema de control de temperatura de una habitación. La temperatura deseada es de 20°C y la temperatura real es de 18°C. La ganancia en estado estacionario es de 2.5. Para calcular el error de estado estable, aplicamos la fórmula:

Es = 20°C – 18°C/2.5 = 0.8°C

Por lo tanto, el error de estado estable en este caso es de 0.8°C. Esto significa que el sistema no está alcanzando la temperatura deseada y se requiere ajustar la ganancia para mejorar el desempeño del sistema.

Conclusión:

El error de estado estable es un parámetro importante a considerar en cualquier sistema de control. La fórmula para calcularlo es sencilla y puede aplicarse a cualquier tipo de sistema. Conociendo el valor del error de estado estable, se puede determinar si el sistema está operando de manera adecuada o si se requiere hacer ajustes en la ganancia para mejorar su desempeño.

Valor del error de estado estable

El valor del error de estado estable es un término utilizado en el análisis de sistemas de control. Este valor representa la diferencia entre la salida deseada y la salida real del sistema después de que se ha alcanzado el estado estable. En otras palabras, es la cantidad de error que permanece en el sistema después de que se ha alcanzado la estabilidad.

Cálculo del valor del error de estado estable

El valor del error de estado estable se puede calcular utilizando la fórmula:

ESS = lim s→0 sG(s)

Donde:

• ESS: Valor del error de estado estable
• s: Frecuencia compleja
• G(s): Función de transferencia del sistema

La fórmula muestra que el valor del error de estado estable depende de la función de transferencia del sistema en la frecuencia compleja cero. Por lo tanto, para calcular el valor del error de estado estable, es necesario conocer la función de transferencia del sistema.

Valor del error de estado estable y la ganancia en estado estacionario

La ganancia en estado estacionario (KESS) es otra medida importante en el análisis de sistemas de control. Esta medida representa la relación entre la salida del sistema en estado estacionario y la entrada del sistema en estado estacionario. Si la ganancia en estado estacionario es alta, significa que el sistema es capaz de seguir con precisión la entrada deseada en estado estacionario.

El valor del error de estado estable y la ganancia en estado estacionario están relacionados. La fórmula que relaciona estas dos medidas es:

ESS = 1/KESS

La fórmula muestra que el valor del error de estado estable disminuye a medida que la ganancia en estado estacionario aumenta. En otras palabras, un sistema con una alta ganancia en estado estacionario tendrá un valor del error de estado estable bajo.

Ejemplo

Supongamos que tenemos un sistema de control con una función de transferencia dada por:

G(s) = 1/(s+1)

Para calcular el valor del error de estado estable, podemos utilizar la fórmula:

ESS = lim s→0 sG(s) = lim s→0 1/(s+1) = 1

Por lo tanto, el valor del error de estado estable para este sistema es de 1. Esto significa que después de alcanzar el estado estable, la salida real del sistema siempre estará a una distancia de 1 unidad de la salida deseada.

Si queremos calcular la ganancia en estado estacionario, podemos utilizar la fórmula:

KESS = lim s→0 G(s) = lim s→0 1/(s+1) = 1

Por lo tanto, la ganancia en estado estacionario para este sistema es de 1. Esto significa que la salida del sistema en estado estacionario es igual a la entrada del sistema en estado estacionario.

Conclusiones

El valor del error de estado estable es un indicador importante del rendimiento de un sistema de control en estado estacionario. Cuanto menor sea el valor del error de estado estable, mejor será el rendimiento del sistema. Además, el valor del error de estado estable está relacionado con la ganancia en estado estacionario, lo que significa que un sistema con una alta ganancia en estado estacionario tendrá un valor del error de estado estable bajo.

Ganancia en estado estacionario

El error de estado estable es el error que se produce en una señal de salida cuando se aplica una señal de entrada constante. Es decir, es el error que se produce cuando el sistema se encuentra en equilibrio, es decir, en estado estacionario.

Fórmula para calcular el error de estado estable

La fórmula para calcular el error de estado estable es la siguiente:

Es = Lim (s -> 0) s * (1 / G(s))

Donde:

• Es es el error de estado estable.
• Lim (s -> 0) es el límite de la función cuando s tiende a cero.
• s es la variable de Laplace.
• G(s) es la función de transferencia del sistema.

Valor del error de estado estable

El valor del error de estado estable depende del tipo de sistema y del tipo de entrada aplicada. Los valores más comunes son:

• Error de estado estable en régimen permanente: Este error se produce cuando la entrada es constante y el sistema se encuentra en equilibrio. El valor del error depende de la ganancia en estado estacionario.
• Error de estado estable en régimen transitorio: Este error se produce cuando la entrada cambia y el sistema no ha alcanzado su equilibrio. El valor del error depende de la velocidad de respuesta del sistema y de la amplitud de la entrada.

Ganancia en estado estacionario

La ganancia en estado estacionario es la relación entre la señal de salida y la señal de entrada cuando el sistema se encuentra en equilibrio. Es decir, es la ganancia del sistema cuando ha alcanzado su estado estable.

La ganancia en estado estacionario se puede calcular como:

Kv = Lim (s -> 0) G(s)

Donde:

• Kv es la ganancia en estado estacionario.
• Lim (s -> 0) es el límite de la función cuando s tiende a cero.
• G(s) es la función de transferencia del sistema.

La ganancia en estado estacionario es importante porque determina el valor del error de estado estable en régimen permanente. Cuanto mayor sea la ganancia en estado estacionario, menor será el error de estado estable.

Por ejemplo, si tenemos un sistema con una ganancia en estado estacionario de 10 y aplicamos una señal de entrada constante de 1, el sistema debería producir una señal de salida constante de 10. Si el sistema produce una señal de salida de 9, el error de estado estable sería de 1.

El valor del error depende de la ganancia en estado estacionario y de la amplitud de la entrada. La ganancia en estado estacionario es importante porque determina el valor del error de estado estable en régimen permanente.

En conclusión, el error de estado estable es un concepto clave en el análisis de sistemas de control. Conociendo su fórmula, valor y ganancia en estado estacionario, se pueden identificar las posibles desviaciones que se pueden presentar en el comportamiento de un sistema. Es importante tener en cuenta que el error de estado estable puede ser minimizado o incluso eliminado mediante la selección adecuada de los parámetros de control, lo que garantiza un correcto funcionamiento del sistema. En definitiva, la comprensión de este concepto es fundamental para aquellos que trabajan en el diseño y la implementación de sistemas de control en cualquier área de la ingeniería.

En conclusión, el error de estado estable es una medida de la precisión de un sistema ante una entrada constante en el tiempo. Se puede calcular a través de la fórmula del error de estado estable, que depende de la ganancia en estado estacionario y el valor de la entrada constante. La ganancia en estado estacionario es la relación entre la magnitud de la salida y la magnitud de la entrada cuando la entrada es constante. Una ganancia en estado estacionario alta indica que el sistema es más sensible a la entrada, mientras que una ganancia baja indica que el sistema es menos sensible a la entrada. El error de estado estable es importante en el diseño y análisis de sistemas de control, ya que permite evaluar la capacidad del sistema para seguir una entrada constante con precisión.

En conclusión, el error de estado estable es una medida de la precisión de un sistema ante una entrada constante en el tiempo. Se puede calcular a través de la fórmula del error de estado estable, que depende de la ganancia en estado estacionario y el valor de la entrada constante. La ganancia en estado estacionario es la relación entre la magnitud de la salida y la magnitud de la entrada cuando la entrada es constante. Una ganancia en estado estacionario alta indica que el sistema es más sensible a la entrada, mientras que una ganancia baja indica que el sistema es menos sensible a la entrada. El error de estado estable es importante en el diseño y análisis de sistemas de control, ya que permite evaluar la capacidad del sistema para seguir una entrada constante con precisión.