Serie de Fourier trigonométrica

Ultima edición el 21 septiembre, 2023

La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que permite descomponer una función periódica en una combinación de funciones trigonométricas (senos y cosenos). Esta serie lleva el nombre del matemático francés Joseph Fourier, quien la desarrolló en el siglo XIX.

La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta fundamental en la teoría de señales y sistemas, y se utiliza en diversas áreas de la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas. La serie se utiliza para analizar y sintetizar señales periódicas, y permite representar la señal en términos de sus componentes frecuenciales.

En esta presentación, exploraremos en detalle la Serie de Fourier trigonométrica, su definición, propiedades y aplicaciones. Además, presentaremos algunos ejemplos prácticos para ilustrar su uso en el análisis y síntesis de señales periódicas.

Definición de Serie de Fourier trigonométrica

La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que permite descomponer una función periódica en una suma infinita de funciones trigonométricas. Esta serie fue desarrollada por Joseph Fourier en el siglo XIX y es ampliamente utilizada en la física, la ingeniería y otras ramas de la ciencia.

La Serie de Fourier trigonométrica se define como:

«Dada una función periódica ƒ(x) con periodo T, la Serie de Fourier trigonométrica de ƒ(x) es una suma infinita de funciones trigonométricas seno y coseno que se ajustan a la función ƒ(x) en el intervalo [-T/2, T/2].»

En otras palabras, la Serie de Fourier trigonométrica descompone una función periódica en una combinación lineal de senos y cosenos con diferentes amplitudes y frecuencias. Esta serie se puede expresar matemáticamente como:

ƒ(x) = a₀/2 + ∑[n=1 a_n cos(nω₀x) + b_n sen(nω₀x)]

Donde:

• a₀/2 es el término constante de la serie
• a_n y b_n son los coeficientes de Fourier, que se calculan mediante las fórmulas:
• a_n = (2/T) ∫[T/2 -T/2] ƒ(x) cos(nω₀x) dx
• b_n = (2/T) ∫[T/2 -T/2] ƒ(x) sen(nω₀x) dx
• ω₀ = 2π/T es la frecuencia fundamental de la función periódica

La Serie de Fourier trigonométrica se puede utilizar para aproximar una función periódica con cualquier grado de precisión. Si se suman suficientes términos de la serie, la aproximación se acerca cada vez más a la función original.

Por ejemplo, consideremos la función periódica:

ƒ(x) = x, -π ≤ x ≤ π

Esta función tiene un periodo de 2π y es simétrica con respecto al origen. Para calcular la Serie de Fourier trigonométrica de esta función, primero debemos calcular los coeficientes de Fourier a₀, a_n y b_n:

• a₀ = (1/π) ∫[π -π] x dx = 0
• a_n = (1/π) ∫[π -π] x cos(nx) dx = 0
• b_n = (1/π) ∫[π -π] x sen(nx) dx = -2/(nπ) para n impar

Por lo tanto, la Serie de Fourier trigonométrica de ƒ(x) es:

ƒ(x) = ∑[n=1,3,5,…] (-2/(nπ)) sen(nx)

Esta serie infinita puede usarse para aproximar la función ƒ(x) con cualquier grado de precisión, sumando suficientes términos de la serie.

Esta serie se utiliza ampliamente en la física, la ingeniería y otras ramas de la ciencia para aproximar funciones periódicas con cualquier grado de precisión.

Representación gráfica de la serie de Fourier trigonométrica

La serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que permite descomponer una función periódica en una combinación de funciones trigonométricas. Esta descomposición se puede representar gráficamente, lo que facilita la comprensión de cómo se construye la función original a partir de las funciones trigonométricas.

Para entender la representación gráfica de la serie de Fourier trigonométrica, es necesario recordar que esta serie se compone de una suma de términos de la forma:

donde los coeficientes a₀, a_n y b_n son constantes que dependen de la función original y n es un número entero.

Para representar gráficamente esta serie, se puede seguir el siguiente proceso:

1. Se dibuja la función original en un eje cartesiano, considerando un período completo de la misma.
2. Se dibuja la función obtenida al sumar el término constante a₀ en el mismo eje cartesiano, como una línea horizontal en la altura de a₀.
3. Se dibuja la función obtenida al sumar el término correspondiente a n=1, es decir, a₁cos(x)+b₁sin(x), en un nuevo eje cartesiano que se superpone al anterior. Esta función se puede representar como una línea que oscila arriba y abajo de la línea horizontal anterior.
4. Se repite el paso anterior para cada valor de n, dibujando en cada caso una nueva línea que oscila arriba y abajo de las anteriores.
5. Finalmente, se dibuja la función resultante de sumar todas las líneas obtenidas en el paso anterior, que se aproxima cada vez más a la función original cuanto mayor sea el número de términos considerados.

Por ejemplo, si consideramos la función f(x) = x en el intervalo [-π,π], su serie de Fourier trigonométrica sería:

La representación gráfica de los primeros términos de esta serie se puede ver en la siguiente imagen:

En esta imagen se puede observar cómo se va aproximando la función original (la línea recta) a medida que se suman más términos de la serie de Fourier.

Siguiendo el proceso descrito, se puede obtener una aproximación cada vez más precisa de la función original a medida que se suman más términos de la serie.

Aplicaciones de la serie de Fourier trigonométrica

La serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que permite descomponer una función periódica en una suma de funciones trigonométricas. Esta serie tiene muchas aplicaciones en distintas áreas, entre ellas:

1. Análisis de señales

La serie de Fourier trigonométrica es muy utilizada en el análisis de señales periódicas, como las señales de audio y video. Esta serie permite descomponer una señal en sus componentes frecuenciales, lo que permite analizar cada componente por separado y entender mejor la señal en su totalidad.

2. Teoría de la comunicación

En la teoría de la comunicación, la serie de Fourier trigonométrica se utiliza para la modulación de señales. La modulación consiste en superponer una señal de alta frecuencia (llamada portadora) con una señal de baja frecuencia (llamada moduladora). Al hacer esto, la señal modulada puede ser transmitida a través de un canal de comunicación y luego demodulada para recuperar la señal original.

3. Procesamiento de imágenes

En el procesamiento de imágenes, la serie de Fourier trigonométrica se utiliza para la compresión de imágenes. Al descomponer una imagen en sus componentes frecuenciales, se puede eliminar información redundante y almacenar la imagen de forma más eficiente. Luego, al reconstruir la imagen a partir de su serie de Fourier, se puede obtener una imagen muy similar a la original con un menor tamaño de archivo.

4. Mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, la serie de Fourier trigonométrica se utiliza para representar las funciones de onda de las partículas. Las funciones de onda son funciones matemáticas que describen el comportamiento de las partículas subatómicas. Al representar estas funciones en términos de una serie de Fourier, se pueden entender mejor las propiedades de las partículas y predecir su comportamiento en distintas situaciones.

5. Matemáticas puras

Por último, la serie de Fourier trigonométrica es un objeto matemático interesante en sí mismo y tiene muchas aplicaciones en matemáticas puras. Por ejemplo, se utiliza en la teoría de números para estudiar las propiedades de los números enteros y en la teoría de la aproximación para aproximar funciones continuas por medio de funciones trigonométricas.

Esta herramienta matemática ha sido fundamental para el desarrollo de la tecnología moderna y sigue siendo objeto de estudio e investigación en la actualidad.

Coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica

La serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática utilizada para representar funciones periódicas mediante una suma infinita de funciones trigonométricas. Los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica son los valores que determinan la amplitud y la frecuencia de cada una de las funciones trigonométricas que se utilizan en la representación de la función periódica.

Coeficientes de Fourier

Los coeficientes de Fourier son valores que se calculan a partir de la función periódica que se desea representar mediante la serie de Fourier trigonométrica. Estos coeficientes se calculan mediante las fórmulas de Fourier, que se aplican a la función periódica en un intervalo de tiempo determinado. Los coeficientes de Fourier se pueden expresar en términos de números complejos o en términos de valores reales y complejos.

Coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica

Los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica se calculan a partir de los coeficientes de Fourier de la función periódica. Estos coeficientes se utilizan para determinar la amplitud y la frecuencia de cada una de las funciones trigonométricas que se utilizan en la representación de la función periódica.

Los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas:

• Coeficiente an: an = (2/T) * integral[f(x)*cos(nωx)dx]
• Coeficiente bn: bn = (2/T) * integral[f(x)*sin(nωx)dx]

Donde T es el período de la función periódica, ω es la frecuencia angular y f(x) es la función periódica que se desea representar mediante la serie de Fourier trigonométrica.

Ejemplo de cálculo de coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica

Supongamos que se desea representar mediante la serie de Fourier trigonométrica la función periódica f(x) = x en el intervalo [-π,π].

Para calcular los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica, se deben calcular primero los coeficientes de Fourier de la función periódica:

• Coeficiente a0: a0 = (1/π) * integral[-π,π][x dx] = 0
• Coeficiente an: an = (2/π) * integral[-π,π][x cos(nx) dx] = 0
• Coeficiente bn: bn = (2/π) * integral[-π,π][x sin(nx) dx] = (-1)^n * (2/πn)

Una vez obtenidos los coeficientes de Fourier, se pueden calcular los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica mediante las fórmulas:

• Coeficiente a0: a0 = 0
• Coeficiente an: an = 0
• Coeficiente bn: bn = (-1)^n * (2/πn)

Por lo tanto, la serie de Fourier trigonométrica de la función periódica f(x) = x en el intervalo [-π,π] es:

f(x) = (2/π) * ∑[(-1)^n * sin(nx)]

Estos coeficientes se calculan a partir de los coeficientes de Fourier de la función periódica y se pueden expresar en términos de números complejos o en términos de valores reales y complejos.

Técnicas de análisis de la serie de Fourier trigonométrica

La serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que se utiliza para descomponer una función periódica en una suma de funciones trigonométricas. Esta técnica es muy útil en la física, la ingeniería y otras áreas de la ciencia que involucran el estudio de sistemas periódicos.

Análisis de la serie de Fourier trigonométrica

Para analizar una serie de Fourier trigonométrica, se pueden utilizar diversas técnicas, tales como:

• Cálculo de los coeficientes de Fourier: se utilizan integrales para encontrar los coeficientes de Fourier de una función periódica, que son los coeficientes que se utilizan para construir la serie de Fourier trigonométrica.
• Transformada de Fourier: la transformada de Fourier es una técnica matemática que se utiliza para analizar señales no periódicas. Sin embargo, también se puede utilizar para analizar una serie de Fourier trigonométrica, ya que esta última es una función periódica.
• Convergencia de la serie de Fourier: es importante analizar si la serie de Fourier trigonométrica converge o no, ya que esto determina si se puede utilizar para aproximar la función original.

Ejemplo de análisis de la serie de Fourier trigonométrica

Supongamos que queremos analizar la función periódica:

f(x) = x, para -π ≤ x ≤ π

Para encontrar los coeficientes de Fourier de esta función, se utiliza la siguiente fórmula:

an = (1/π) ∫-ππ f(x) cos(nx) dx

bn = (1/π) ∫-ππ f(x) sin(nx) dx

Al calcular los coeficientes de Fourier, se obtiene que:

an = 0

bn = (2/π) (-1)^n-1

Por lo tanto, la serie de Fourier trigonométrica de la función f(x) es:

f(x) = (2/π) [sin(x) – (1/3) sin(3x) + (1/5) sin(5x) – (1/7) sin(7x) + …]

Podemos analizar la convergencia de esta serie utilizando el criterio de Dirichlet, que establece que una serie de Fourier trigonométrica converge si la función es periódica y acotada, y si el número de máximos y mínimos de la función en un intervalo es finito. En este caso, la función f(x) es periódica y acotada, y tiene un número finito de máximos y mínimos en el intervalo -π ≤ x ≤ π. Por lo tanto, la serie de Fourier trigonométrica converge a la función f(x).

Para analizar esta serie, se pueden utilizar diversas técnicas, como el cálculo de los coeficientes de Fourier, la transformada de Fourier y el análisis de la convergencia de la serie.

Propiedades de la serie de Fourier trigonométrica

La serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática muy útil para representar funciones periódicas como una suma de funciones trigonométricas. A continuación, se presentan algunas de las propiedades más importantes de esta serie:

1. Periodicidad

La serie de Fourier trigonométrica es periódica con el mismo período que la función original.

“La serie de Fourier de una función periódica es también periódica con el mismo período que la función original.”

2. Convergencia uniforme

La serie de Fourier trigonométrica converge uniformemente a la función original en cualquier intervalo finito donde la función es continua.

“La serie de Fourier trigonométrica converge uniformemente en cualquier intervalo finito donde la función es continua.”

3. Coeficientes de Fourier

Los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas:

• Coeficiente a₀: a₀ = (1/2π) ∫_-π ^π f(x) dx
• Coeficientes a_n y b_n: a_n = (1/π) ∫_-π ^π f(x) cos(nx) dx y b_n = (1/π) ∫_-π ^π f(x) sin(nx) dx

4. Simetría

Si la función original es par o impar, entonces los coeficientes b_n o a_n respectivamente, son iguales a cero.

5. Transformada de Fourier

La serie de Fourier trigonométrica es un caso especial de la transformada de Fourier discreta.

“La serie de Fourier trigonométrica es un caso especial de la transformada de Fourier discreta.”

6. Teorema de Parseval

El teorema de Parseval establece que la energía de una función periódica se puede calcular como la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier.

“El teorema de Parseval establece que la energía de una función periódica se puede calcular como la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier.”

Esta serie tiene varias propiedades importantes, como la periodicidad, la convergencia uniforme, los coeficientes de Fourier, la simetría, la transformada de Fourier y el teorema de Parseval.

Ejemplos de Series de Fourier trigonométrica

La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática utilizada para descomponer una función periódica en una combinación de funciones sinusoidales y cosinusoidales. Esta descomposición se realiza a través de la suma de una serie infinita de armónicos, cada uno con una amplitud y fase específicas.

Ejemplo 1: Función Cuadrada

Consideremos la función cuadrada definida como:

f(x) = { 1, si -π<x<0; -1, si 0<x<π}

Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

• El término constante a₀ es:
• a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
• Los coeficientes a_n y b_n son:
• an = (1/π) ∫-ππ f(x) cos(nx) dx = 0
• bn = (1/π) ∫-ππ f(x) sin(nx) dx = (2/π) * (1/n) * (1 - cos(nπ))
• La Serie de Fourier trigonométrica es:
• f(x) ≈ (4/π) * ∑n=1∞ [sin((2n-1)x)/(2n-1)]

Podemos ver que la Serie de Fourier trigonométrica de la función cuadrada consiste en una suma de funciones sinusoidales impares, cuyas amplitudes disminuyen con el número de armónicos.

Ejemplo 2: Función Diente de Sierra

Consideremos la función diente de sierra definida como:

f(x) = x, si -π<x<π

Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

• El término constante a₀ es:
• a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
• Los coeficientes a_n y b_n son:
• an = (1/π) ∫-ππ f(x) cos(nx) dx = 0
• bn = (1/πn) ∫-ππ f(x) sin(nx) dx = (2/π) * (-1)n+1 * (1/n)
• La Serie de Fourier trigonométrica es:
• f(x) ≈ (2/π) * ∑n=1∞ [(-1)n+1 * sin(nx)/n]

En este caso, la Serie de Fourier trigonométrica de la función diente de sierra consiste en una suma de funciones sinusoidales impares, cuyas amplitudes disminuyen con el número de armónicos, pero cuyas frecuencias aumentan con el número de armónicos.

Ejemplo 3: Función Triangular

Consideremos la función triangular definida como:

f(x) = { x+π, si -π<x<0; π-x, si 0<x<π }

Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

• El término constante a₀ es:
• a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
• Los coeficientes
  

  Ejemplos de Series de Fourier trigonométrica

  La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática utilizada para descomponer una función periódica en una combinación de funciones sinusoidales y cosinusoidales. Esta descomposición se realiza a través de la suma de una serie infinita de armónicos, cada uno con una amplitud y fase específicas.

  Ejemplo 1: Función Cuadrada

  Consideremos la función cuadrada definida como:

  f(x) = { 1, si -π<x<0; -1, si 0<x<π}

  Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

  • El término constante a₀ es:
  • a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
  • Los coeficientes a_n y b_n son:
  • an = (1/π) ∫-ππ f(x) cos(nx) dx = 0
  • bn = (1/π) ∫-ππ f(x) sin(nx) dx = (2/π) * (1/n) * (1 - cos(nπ))
  • La Serie de Fourier trigonométrica es:
  • f(x) ≈ (4/π) * ∑n=1∞ [sin((2n-1)x)/(2n-1)]

  Podemos ver que la Serie de Fourier trigonométrica de la función cuadrada consiste en una suma de funciones sinusoidales impares, cuyas amplitudes disminuyen con el número de armónicos.

  Ejemplo 2: Función Diente de Sierra

  Consideremos la función diente de sierra definida como:

  f(x) = x, si -π<x<π

  Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

  • El término constante a₀ es:
  • a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
  • Los coeficientes a_n y b_n son:
  • an = (1/π) ∫-ππ f(x) cos(nx) dx = 0
  • bn = (1/πn) ∫-ππ f(x) sin(nx) dx = (2/π) * (-1)n+1 * (1/n)
  • La Serie de Fourier trigonométrica es:
  • f(x) ≈ (2/π) * ∑n=1∞ [(-1)n+1 * sin(nx)/n]

  En este caso, la Serie de Fourier trigonométrica de la función diente de sierra consiste en una suma de funciones sinusoidales impares, cuyas amplitudes disminuyen con el número de armónicos, pero cuyas frecuencias aumentan con el número de armónicos.

  Ejemplo 3: Función Triangular

  Consideremos la función triangular definida como:

  f(x) = { x+π, si -π<x<0; π-x, si 0<x<π }

  Esta función es periódica con un período de 2π. Podemos obtener su Serie de Fourier trigonométrica de la siguiente manera:

  • El término constante a₀ es:
  • a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx = 0
  • Los coeficientes
    

    Métodos numéricos para la Serie de Fourier trigonométrica

    La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática que se utiliza para descomponer una función periódica en una suma de funciones trigonométricas. Esta serie es muy útil en la física, la ingeniería y la matemática aplicada.

    ¿Qué son los métodos numéricos?

    Los métodos numéricos son técnicas matemáticas que se utilizan para resolver problemas numéricos que no pueden resolverse de forma analítica. Estos métodos utilizan algoritmos que aproximan la solución del problema.

    ¿Cómo se utilizan los métodos numéricos en la Serie de Fourier trigonométrica?

    Para calcular la Serie de Fourier trigonométrica de una función periódica, se utilizan métodos numéricos para aproximar los coeficientes de la serie. Estos métodos se basan en la integración numérica y en la aproximación de funciones.

    Método de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)

    El método DFT es un método numérico utilizado para calcular la Serie de Fourier trigonométrica de una señal discreta. Este método utiliza la transformada de Fourier discreta para calcular los coeficientes de la serie.

    La transformada de Fourier discreta se define como:

    «La DFT de una señal discreta f[n] de longitud N es una función compleja F[k], también de longitud N, que se define como:

    F[k] = ∑_n=0^N-1f[n]e^-i2πnk/N

    Donde k es un índice que varía de 0 a N-1, y e^-i2πnk/N es la función exponencial compleja.

    Una vez que se calcula la transformada de Fourier discreta, se pueden obtener los coeficientes de la Serie de Fourier trigonométrica utilizando la siguiente fórmula:

    «Los coeficientes de la Serie de Fourier trigonométrica de una señal discreta f[n] se calculan como:

    a_k = (2/N)Re{F[k]}

    b_k = -(2/N)Im{F[k]}

    Donde Re{F[k]} y Im{F[k]} son las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier discreta, respectivamente.

    Método de la Aproximación de Funciones

    El método de la aproximación de funciones es otro método numérico utilizado para calcular la Serie de Fourier trigonométrica de una función periódica. Este método utiliza funciones trigonométricas para aproximar la función original.

    Para utilizar este método, se debe elegir una base de funciones trigonométricas que se utilizarán para aproximar la función original. La base de funciones más comúnmente utilizada es la base de funciones seno y coseno.

    Una vez que se elige la base de funciones, se debe calcular los coeficientes de la Serie de Fourier trigonométrica utilizando una técnica de aproximación de funciones, como el método de los mínimos cuadrados.

    Conclusión

    La Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática muy útil en la física, la ingeniería y la matemática aplicada. Para calcular los coeficientes de esta serie, se utilizan métodos numéricos como el método de la Transformada de Fourier Discreta y el método de la Aproximación de Funciones.

    En conclusión, la serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática esencial para el análisis de señales periódicas. Esta serie permite descomponer una señal en sus componentes armónicas fundamentales, lo que resulta en una representación matemática más sencilla y compacta. Además, la serie de Fourier trigonométrica tiene numerosas aplicaciones en áreas como la electrónica, la comunicación y la ingeniería. En resumen, esta serie es un pilar fundamental en el estudio de las señales periódicas y su uso sigue siendo relevante en la actualidad.

    En conclusión, la Serie de Fourier trigonométrica es una herramienta matemática muy útil para descomponer señales periódicas en una suma infinita de funciones trigonométricas. Esta serie tiene aplicaciones en diferentes áreas, como la física, la ingeniería y las ciencias de la computación, entre otras. Además, la Serie de Fourier trigonométrica es una base para el desarrollo de otras series de Fourier más avanzadas, como la Serie de Fourier exponencial y la Serie de Fourier compleja. En resumen, la Serie de Fourier trigonométrica es un tema fundamental en el estudio de las funciones periódicas y su análisis es esencial para entender diversos fenómenos en la vida cotidiana.

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    JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

    Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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