Análisis de series exponenciales de Fourier

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Ultima edición el 30 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Serie de Fourier de un vistazo

Se dice que una señal de tiempo continuo x (t) es periódica si hay un valor positivo distinto de cero de T para el cual,

como sabemos, cualquier señal periódica puede clasificarse en sinusoides armónicamente relacionados o exponencial complejo, siempre que satisfaga las condiciones de Dirichlet . Esta representación descompuesta se llama SERIE FOURIER .
Hay dos tipos de representación de la Serie de Fourier . Ambos son equivalentes entre sí.

  • Serie exponencial de Fourier
  • Serie de Fourier trigonométrica

Ambas representaciones dan el mismo resultado. Dependiendo del tipo de señal, elegimos cualquiera de las representaciones según nuestra conveniencia.

Serie exponencial de Fourier

Una señal periódica se analiza en términos de la serie exponencial de Fourier en las siguientes tres etapas:

  1. Representación de señal periódica .
  2. Espectros de amplitud y fase de una señal periódica .
  3. Contenido de potencia de una señal periódica .

Representación de señal periódica

Una señal periódica en la serie de Fourier se puede representar en dos dominios de tiempo diferentes:

  1. Dominio del tiempo continuo .
  2. Dominio del tiempo discreto .

Dominio de tiempo continuo

La representación en serie exponencial compleja de Fourier de una señal periódica x (t) con período fundamental T o viene dada por

Donde, C se conoce como el Coeficiente complejo de Fourier y está dada por,

Donde ∫ 0 T 0 , denota la integral durante cualquier período y, de 0 a T 0 o -T 0 /2 a T 0 /2 son los límites comúnmente utilizados para la integración.
La ecuación (3) se puede derivar multiplicando ambos lados de la ecuación (2) por e (-jlω 0 t) e integrar durante un período de tiempo ambos lados.

Al intercambiar el orden de suma e integración en RHS, obtenemos



Cuando, k ≠ l, el lado derecho de (5) evaluado en el límite inferior y superior arroja cero. Por otro lado, si k = l, tenemos

Consecuentemente la ecuación (4) se reduce a lo



que indica el valor promedio de x (t) durante un período.
Cuando x (t) es real,

Donde, * indica conjugado

Dominio del tiempo discreto

La representación de Fourier en discreta es muy similar a la representación de Fourier de la señal periódica de dominio de tiempo continuo.
La representación en serie discreta de Fourier de una secuencia periódica x [n] con período fundamental N o está dada por
Donde, C k , son los coeficientes de Fourier y están dados por

Esto se puede derivar de la misma manera que lo derivamos en el dominio del tiempo continuo .

Espectros de amplitud y fase de una señal periódica

Podemos expresar el coeficiente complejo de Fourier, C k como

una gráfica de | C k | versus la frecuencia angular w se llama espectro de amplitud de la señal periódica x (t), y una gráfica de Ф k , versus w se llama espectro de fase de x (t). Dado que el índice k asume solo números enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas continuas sino que aparecen solo en las frecuencias discretas kω 0 , por lo que se denominan espectros de frecuencia discretos o espectros de línea.
Para una señal periódica real x (t) tenemos C -k = C k * . Por lo

tanto , por lo tanto, el espectro de amplitud es una función par de ω, y el espectro de fase es una función impar de 0 para una señal periódica real.

Contenido de potencia de una señal periódica

El contenido de potencia promedio de una señal periódica está dado por

Si x (t) está representado por la serie exponencial compleja de Fourier, entonces

esta ecuación se conoce como identidad de Parseval o teorema de Parseval.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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