Ultima edición el 30 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
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Serie de Fourier de un vistazo
Se dice que una señal de tiempo continuo x (t) es periódica si hay un valor positivo distinto de cero de T para el cual, 
como sabemos, cualquier señal periódica puede clasificarse en sinusoides armónicamente relacionados o exponencial complejo, siempre que satisfaga las condiciones de Dirichlet . Esta representación descompuesta se llama SERIE FOURIER .
Hay dos tipos de representación de la Serie de Fourier . Ambos son equivalentes entre sí.
- Serie exponencial de Fourier
- Serie de Fourier trigonométrica
Ambas representaciones dan el mismo resultado. Dependiendo del tipo de señal, elegimos cualquiera de las representaciones según nuestra conveniencia.
Serie exponencial de Fourier
Una señal periódica se analiza en términos de la serie exponencial de Fourier en las siguientes tres etapas:
- Representación de señal periódica .
- Espectros de amplitud y fase de una señal periódica .
- Contenido de potencia de una señal periódica .
Representación de señal periódica
Una señal periódica en la serie de Fourier se puede representar en dos dominios de tiempo diferentes:
- Dominio del tiempo continuo .
- Dominio del tiempo discreto .
Dominio de tiempo continuo
La representación en serie exponencial compleja de Fourier de una señal periódica x (t) con período fundamental T o viene dada por 
Donde, C se conoce como el Coeficiente complejo de Fourier y está dada por, 
Donde ∫ 0 T 0 , denota la integral durante cualquier período y, de 0 a T 0 o -T 0 /2 a T 0 /2 son los límites comúnmente utilizados para la integración.
La ecuación (3) se puede derivar multiplicando ambos lados de la ecuación (2) por e (-jlω 0 t) e integrar durante un período de tiempo ambos lados. 
Al intercambiar el orden de suma e integración en RHS, obtenemos
Cuando, k ≠ l, el lado derecho de (5) evaluado en el límite inferior y superior arroja cero. Por otro lado, si k = l, tenemos 
Consecuentemente la ecuación (4) se reduce a lo 
que indica el valor promedio de x (t) durante un período.
Cuando x (t) es real, 
Donde, * indica conjugado
Dominio del tiempo discreto
La representación de Fourier en discreta es muy similar a la representación de Fourier de la señal periódica de dominio de tiempo continuo.
La representación en serie discreta de Fourier de una secuencia periódica x [n] con período fundamental N o está dada por 
Donde, C k , son los coeficientes de Fourier y están dados por 
Esto se puede derivar de la misma manera que lo derivamos en el dominio del tiempo continuo .
Espectros de amplitud y fase de una señal periódica
Podemos expresar el coeficiente complejo de Fourier, C k como 
una gráfica de | C k | versus la frecuencia angular w se llama espectro de amplitud de la señal periódica x (t), y una gráfica de Ф k , versus w se llama espectro de fase de x (t). Dado que el índice k asume solo números enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas continuas sino que aparecen solo en las frecuencias discretas kω 0 , por lo que se denominan espectros de frecuencia discretos o espectros de línea.
Para una señal periódica real x (t) tenemos C -k = C k * . Por lo 
tanto , por lo tanto, el espectro de amplitud es una función par de ω, y el espectro de fase es una función impar de 0 para una señal periódica real.
Contenido de potencia de una señal periódica
El contenido de potencia promedio de una señal periódica está dado por 
Si x (t) está representado por la serie exponencial compleja de Fourier, entonces 
esta ecuación se conoce como identidad de Parseval o teorema de Parseval.
