Análisis de circuitos LC: circuitos en serie y en paralelo, ecuaciones y función de transferencia

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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

¿Qué es un circuito Lc?

¿Qué es un circuito LC?

Un circuito LC (también conocido como filtro LC o red LC) se define como un circuito eléctrico que consta de los elementos del circuito pasivo, un inductor (L) y un condensador (C) conectados entre sí. También se le llama circuito resonante, circuito de tanque o circuito sintonizado.

Circuito LC
Un circuito LC

Debido a la ausencia de una resistencia en la forma ideal del circuito, un circuito LC no consume energía. Esto es diferente a las formas ideales de circuitos RC , circuitos RL o circuitos RLC , que consumen energía debido a la presencia de una resistencia.

Dicho esto, en un circuito práctico, un circuito LC siempre consumirá algo de energía debido a la resistencia distinta de cero de los componentes y los cables de conexión.

¿Por qué un circuito LC se denomina circuito sintonizado o circuito de tanque?

La carga fluye hacia adelante y hacia atrás entre las placas del condensador y a través del inductor. La energía oscila entre un condensador y un inductor hasta que la resistencia interna de los componentes y los cables de conexión hace que las oscilaciones se apaguen.

La acción de este circuito es como una acción sintonizada, matemáticamente conocida como oscilador armónico, que es similar a un péndulo que se balancea hacia adelante y hacia atrás o al agua que fluye hacia adelante y hacia atrás en un tanque; por esta razón, el circuito se denomina circuito sintonizado o circuito tanque.

El circuito puede actuar como un resonador eléctrico y almacenar energía oscilando a la frecuencia llamada frecuencia resonante.

Circuito Serie LC

En el circuito LC en serie, el inductor y el condensador están conectados en una serie que se muestra en la figura.

Circuito Serie LC
Circuito Serie LC

Dado que en un circuito en serie la corriente es la misma en todas partes del circuito, el flujo de corriente es igual a la corriente a través del inductor y el condensador.

begin {align *} i = i_L = i_C end {align *}

Ahora, el voltaje total en los terminales es igual a la suma del voltaje en el capacitor y el voltaje en el inductor.

begin {align *} V = V_L + V_C end {align *}

Resonancia en circuito serie LC

Cuando una frecuencia aumenta, la magnitud de la reactancia inductiva también aumenta.

begin {align *} X_L = omega L = 2 pi fL end {align *}

y la magnitud de la reactancia capacitiva disminuye.

begin {align *} X_C = frac {1} { omega C} = frac {1} {2 pi f C} end {align *}

Ahora, en una condición de resonancia, la magnitud de la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva se vuelve igual.

begin {align *} begin {split} & X_L = X_C \ & omega L = frac {1} { omega C} \ & omega ^ 2 = frac {1} {LC} \ & omega = omega_0 = frac {1} { sqrt {LC}} (donde, omega = frecuencia angular) \ & 2 pi f = omega_0 = frac {1} { sqrt {LC} } \ & f_0 = frac { omega_0} {2 pi} = frac {1} {2 pi sqrt {LC}} \ end {split} end {align *}

Donde, omega_0es una frecuencia angular resonante (radianes por segundo).

f_0 es una frecuencia resonante (Hertz).

Ahora, una impedancia del circuito LC en serie está dada por

begin {align *} begin {split} & Z_L_C _ (_ s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C & = j omega L + frac {1} {j omega C} & = j omega L + frac { j} {j ^ 2 omega C} & = j omega L - frac {j} { omega C} & = j ( frac { omega ^ 2 LC - 1} { omega C}) (donde, j ^ 2 = -1) end {split} end {align *}

Ahora la frecuencia de resonancia angular es omega_0 = frac {1} { sqrt {LC}}, entonces la impedancia se convierte en

(1) begin {ecuación *} Z_L_C ( omega) _ (_ s_e_r_i_e_s_) = j L ( frac { omega ^ 2 - omega_0 ^ 2} { omega}) end {ecuación *}

Así, en condición resonante cuando omega = omega_0 La impedancia eléctrica total Z será cero, lo que significa que X L y X C se cancelan entre sí. por lo tanto, la corriente suministrada a un circuito LC en serie es máxima ( I = frac {V} {Z}).

Por lo tanto, el circuito LC en serie, cuando se conecta en serie con la carga, actuará como un filtro de paso de banda con impedancia cero en la frecuencia resonante.

  • En frecuencias por debajo de la frecuencia de resonancia es decir f <f_0, X_C data-src=

Circuito LC paralelo

En el circuito LC en paralelo, el inductor y el condensador están conectados en paralelo como se muestra en la figura.

Circuito LC paralelo
Circuito LC paralelo

El voltaje en cada terminal de diferentes elementos en un circuito paralelo es el mismo. Por lo tanto, el voltaje a través de los terminales es igual al voltaje a través del inductor y al voltaje a través del capacitor.

begin {align *} V = V_L = V_C end {align *}

Ahora, la corriente total que fluye a través del circuito LC paralelo es igual a la suma de la corriente que fluye a través del inductor y la corriente que fluye a través del condensador.

begin {align *} i = i_L + i_C end {align *}

Resonancia en circuito LC paralelo

En condición de resonancia cuando la reactancia inductiva ( SG) es igual a la reactancia capacitiva ( X_C), la corriente de la rama reactiva es igual y opuesta. Por lo tanto, se cancelan entre sí para dar una corriente mínima en el circuito. En este estado, la impedancia total es máxima.

La frecuencia de resonancia viene dada por

begin {align *} f_0 = frac { omega_0} {2 pi} = frac {1} {2 pi sqrt {LC}} end {align *}

Ahora, una impedancia del circuito LC paralelo está dada por

begin {align *} begin {split} Z_L_C _ (_ P_a_r_a_l_l_e_l_) = frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C} & = frac {j omega L frac {1} {j omega C}} { j omega L + frac {1} {j omega C}} & = frac { frac {L} {C}} { frac {- omega ^ 2 LC + 1} {j omega C }} & = frac {j omega L} {1 - omega ^ 2 LC} end {split} end {align *}

Ahora la frecuencia de resonancia angular es omega_0 = frac {1} { sqrt {LC}}, entonces la impedancia se convierte en

(2) begin {ecuación *} Z_L_C ( omega) _ (_ p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j ( frac {1} {C}) ( frac { omega} { omega ^ 2 - omega_0 ^ 2}) end { ecuación*}

Por lo tanto, en condición de resonancia cuando omega = omega_0la impedancia eléctrica total Z será infinita y la corriente suministrada a un circuito LC en paralelo es mínima ( I = frac {V} {Z}).

Por lo tanto, el circuito LC paralelo, cuando se conecta en serie con la carga, actuará como un filtro de parada de banda que tiene una impedancia infinita en la frecuencia resonante. El circuito LC paralelo conectado en paralelo con la carga actuará como un filtro de paso de banda.

  • En frecuencias por debajo de la frecuencia de resonancia es decir, f <f 0 , X L >> X C . Por tanto, el circuito es inductivo.
  • A frecuencias por encima de la frecuencia de resonancia es decir, f> f 0 , X C >> X L . Por tanto, el circuito es capacitivo.
  • A la frecuencia de resonancia, es decir, f = f 0 , X L = X C , la corriente es mínima y la impedancia es máxima. En este estado, el circuito puede actuar como un circuito de rechazo.

Ecuaciones del circuito LC

Ecuación de corriente y voltaje

  • En estado inicial:

begin {align *} I (0) = I_0 sin phi end {align *}

begin {align *} V (0) = - omega_0 L I_0 sin phi end {align *}

  • En oscilación:

begin {align *} I (t) = I_0 sin ( omega_0 t + phi) end {align *}

begin {align *} V (t) = sqrt { frac {L} {C}} I_0 sin ( omega_0 t + phi) end {align *}

Ecuación diferencial del circuito LC

begin {align *} frac {d ^ 2 i (t)} {dt ^ 2} + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {align *}

begin {align *} S ^ 2 i (t) + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {align *}

begin {align *} S ^ 2 + omega_0 ^ 2 = 0 , , (donde, omega = omega_0 = frac {1} { sqrt {LC}}) end {align *}

Impedancia del circuito Serie LC

begin {align *} Z_L_C ( omega) _ (_ s_e_r_i_e_s_) = j L ( frac { omega ^ 2 - omega_0 ^ 2} { omega}) end {align *}

Impedancia del circuito LC paralelo

begin {align *} Z_L_C ( omega) _ (_ p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j ( frac {1} {C}) ( frac { omega} { omega ^ 2 - omega_0 ^ 2}) end { alinear*}

Ajuste de tiempo

El circuito LC puede actuar como un resonador eléctrico y el almacenamiento de energía oscila entre el campo eléctrico y el campo magnético a la frecuencia llamada frecuencia resonante. Dado que cualquier sistema oscilatorio alcanza una condición de estado estable en algún momento, lo que se conoce como tiempo de fraguado.

El tiempo requerido para que la respuesta disminuya y se estabilice en su valor de estado estacionario y permanezca a partir de entonces dentro de + – 2% de su valor final se denomina tiempo de fraguado.

Corriente del circuito LC

Suponga que Eso)es la corriente instantánea que fluye a través del circuito. La caída de voltaje a través del inductor se expresa en términos de corriente V = L frac {dI (t)} {dt}y la caída de voltaje a través del capacitor es V = frac {Q} {C}, donde Q es la carga almacenada en la placa positiva del capacitor.

Un circuito LC
Un circuito LC

Ahora, de acuerdo con la ley de voltaje de Kirchhoff, la suma de las caídas de potencial en los diversos componentes de un circuito cerrado es igual a cero.

(3) begin {ecuación *} L frac {dI (t)} {dt} + frac {Q} {C} = V end {ecuación *}

Dividiendo la ecuación anterior por L y diferenciandola con respecto a t, obtenemos

begin {align *} frac {d ^ 2 I (t)} {dt ^ 2} + frac {d} {dt} frac {Q} {LC} = frac {dV} {dt} end {alinear*}

begin {align *} frac {d ^ 2 I (t)} {dt ^ 2} + frac {1} {LC} frac {d} {dt} (It) = 0 (donde, Q = It ) end {alinear *}

begin {align *} frac {d ^ 2 I (t)} {dt ^ 2} + frac {1} {LC} I (t) = 0 end {align *}

(4) begin {ecuación *} frac {d ^ 2 I (t)} {dt ^ 2} = - frac {1} {LC} I (t) end {ecuación *}

Ahora, la corriente en forma de oscilaciones armónicas simples viene dada por:

(5) begin {ecuación *} I (t) = I_0 sin ( omega t + phi) (I = I_m sin omega t) end {ecuación *}

Donde I_0> 0″ title=»Rendido por QuickLaTeX.com» height=»15″ width=»48″ style=»vertical-align:-3px» ezimgfmt=»rs rscb37 src ng ngcb37″ data-ezsrc=»https://electrical4u.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fab37e47c56603f9d80766af9053823_l3.png»>y <img loading=son constantes.

Ponga el valor de la ecuación (5) en (4) obtenemos,

begin {align *} frac {d ^ 2} {dt ^ 2} I_0 sin ( omega t + phi) = - frac {1} {LC} I_0 sin ( omega t + phi) end {align *}

begin {align *} frac {d} {dt} [ frac {d} {dt} I_0 sin ( omega t + phi)] = - frac {1} {LC} I_0 sin ( omega t + phi) end {align *}

begin {align *} frac {d} {dt} [ omega I_0 cos ( omega t + phi)] = - frac {1} {LC} I_0 sin ( omega t + phi) [ frac { d} {dx} sinax = acosax] end {align *}

begin {align *} - omega ^ 2 I_0 sin ( omega t + phi) = - frac {1} {LC} I_0 sin ( omega t + phi) [ frac {d} {dx} cos ax = -asinax] end {align *}

begin {align *} - omega ^ 2 = - frac {1} {LC} end {align *}

(6) begin {ecuación *} omega = frac {1} { sqrt {LC}} end {ecuación *}

Por lo tanto, a partir de la ecuación anterior, podemos decir que el circuito LC es un circuito oscilante y oscila a una frecuencia llamada frecuencia resonante.

Voltaje del circuito LC

Ahora, de acuerdo con la ecuación (3), el voltaje inducido a través de un inductor es menos el voltaje a través del capacitor.

begin {align *} V = -L frac {dI (t)} {dt} end {align *}

Ponga la ecuación de corriente de la ecuación (5), obtenemos

begin {align *} begin {split} V (t) = - L frac {d} {dt} [I_0 cos ( omega t + phi)] & = - L I_0 frac {d} { dt} [cos ( omega t + phi)] & = - L I_0 [- omega sin ( omega t + phi)] & = omega L I_0 [sin ( omega t + phi) ] & = frac {1} { sqrt {LC}} L I_0 [sin ( omega t + phi)] (donde, omega = frac {1} { sqrt {LC}}) \ V (t) = sqrt frac {L} {C} I_0 [sin ( omega t + phi)] end {split} end {align *}

En otras palabras, el voltaje alcanza el máximo cuando la corriente llega a cero y viceversa. La amplitud de la oscilación de voltaje es la de la oscilación actual multiplicada por sqrt frac {L} {C}.

Función de transferencia del circuito LC

La función de transferencia del voltaje de entrada al voltaje a través del capacitor es

begin {align *} begin {split} H_C (s) = frac {V_C (s)} {V_i_n (s)} & = frac {Z_C} {Z_C + Z_L} & = frac { frac {1} {j omega C}} {j omega L + frac {1} {j omega C}} & = frac { frac {1} {j omega C}} { frac {j ^ 2 omega ^ 2 LC + 1} {j omega C}} & = frac {1} {- omega ^ 2 LC + 1} \ H_C (s) = frac {1} { 1 - omega ^ 2 LC} (donde, j ^ 2 = -1) end {split} end {align *}

De manera similar, la función de transferencia del voltaje de entrada al voltaje a través del inductor es

begin {align *} begin {split} H_L (s) = frac {V_L (s)} {V_i_n (s)} & = frac {Z_L} {Z_C + Z_L} & = frac {j omega L} {j omega L + frac {1} {j omega C}} & = frac {j omega L} { frac {j ^ 2 omega ^ 2 LC + 1} {j omega C}} & = frac {j ^ 2 omega ^ 2 LC} {- omega ^ 2 LC + 1} \ H_L (s) = - frac { omega ^ 2 LC} {1 - omega ^ 2 LC} end {split} end {align *}

Respuesta natural del circuito LC

Supongamos que el condensador está inicialmente completamente descargado y el interruptor (K) se mantiene abierto durante mucho tiempo y se cierra en t = 0.

Respuesta natural del circuito LC
  • En t = 0 – el interruptor K está abierto

Esta es una condición inicial, por lo tanto, podemos escribir,

begin {align *} I_L (0 ^ -) = 0 = I_L (0 ^ +) end {align *}

begin {align *} V_C (0 ^ -) = 0 = V_C (0 ^ +) end {align *}

Porque la corriente a través del inductor y el voltaje a través del capacitor no pueden cambiar instantáneamente.

  • Para todo t> = 0 + el interruptor K está cerrado

Ahora se introduce la fuente de voltaje en el circuito. Por lo tanto, aplicando KVL al circuito, obtenemos,

begin {align *} begin {split} - V_L (t) - V_C (t) + V_S = 0 \ V_L (t) + V_C (t) = V_S \ L frac {di (t)} { dt} + frac {1} {C} int i (t) dt = V_S \ end {split} end {align *}

Aquí el voltaje a través del capacitor se expresa en términos de corriente.

La ecuación anterior se llama ecuación integro-diferencial. Al diferenciar ambos lados de la ecuación anterior con respecto a t, obtenemos,

begin {align *} L frac {d ^ 2i (t)} {dt ^ 2} + frac {i (t)} {C} = 0 end {align *}

(7) begin {ecuación *} frac {d ^ 2i (t)} {dt ^ 2} + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {ecuación *}

La ecuación (7) indica una ecuación diferencial de segundo orden de un circuito LC.

Reemplazar frac {d ^ 2} {dt ^ 2}con s 2 , obtenemos,

(8) begin {ecuación *} S ^ 2i (t) + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {ecuación *}

Ahora las raíces de la ecuación anterior son

begin {align *} S_1, _2 = frac { sqrt { frac {4} {LC}}} {{2}} = frac { frac {2} { sqrt {LC}}} {2 } = frac {1} { sqrt {LC}} end {align *}

Aquí frac {1} { sqrt {LC}}está la frecuencia natural de oscilación.

Respuesta de frecuencia del circuito LC

Usando el método de impedancia: la ecuación general para el sistema de respuesta de frecuencia es

begin {align *} H ( omega) = frac {Y ( omega)} {X ( omega)} = frac {V_o_u_t} {V_i_n} end {align *}

Respuesta de frecuencia del circuito LC
  • Suponga que el voltaje de salida ocurre a través de los terminales del capacitor, aplique la regla del divisor de potencial al circuito anterior

(9) begin {ecuación *} V_o_u_t = V_i_n frac {Z_C} {Z_C + Z_L} end {ecuación *}

Donde, Z_C =impedancia del condensador= frac {1} {j omega C}

Z_L = Impedancia del inductor = {j omega L}

Sustituirlo en la ecuación (9), obtenemos

begin {align *} begin {split} frac {V_o_u_t} {V_i_n} & = frac {Z_C} {Z_C + Z_L} & = frac { frac {1} {j omega C}} {j omega L + frac {1} {j omega C}} & = frac { frac {1} {j omega C}} { frac {j ^ 2 omega ^ 2 LC + 1 } {j omega C}} & = frac {1} {- omega ^ 2 LC + 1} (donde, j ^ 2 = -1) \ end {split} end {align *}

(10) begin {ecuación *} H ( omega) = frac {V_o_u_t} {V_i_n} = frac {1} {1 - omega ^ 2 LC} end {ecuación *}

  • Suponga que el voltaje de salida ocurre a través del inductor, aplique la regla del divisor de potencial al circuito anterior

(11) begin {ecuación *} V_o_u_t = V_i_n frac {Z_L} {Z_C + Z_L} end {ecuación *}

Valor sustituto de Z_Cy Z_Len la ecuación anterior, obtenemos

begin {align *} begin {split} frac {V_o_u_t} {V_i_n} & = frac {Z_L} {Z_C + Z_L} & = frac {j omega L} {j omega L + frac {1} {j omega C}} & = frac {j omega L} { frac {j ^ 2 omega ^ 2 LC + 1} {j omega C}} & = frac { j ^ 2 omega ^ 2 LC} {- omega ^ 2 LC + 1} end {split} end {align *}

(12) begin {ecuación *} H ( omega) = frac {V_o_u_t} {V_i_n} = - frac { omega ^ 2 LC} {1 - omega ^ 2 LC} end {ecuación *}

La ecuación (10) y (12) indica la respuesta de frecuencia de un circuito LC en forma compleja.

Ecuación diferencial del circuito LC

begin {align *} L frac {di (t)} {dt} + frac {1} {C} int i (t) dt = V end {align *}

La ecuación anterior se llama ecuación integro-diferencial. Aquí el voltaje a través del capacitor se expresa en términos de corriente.

Ahora, al diferenciar ambos lados de la ecuación anterior con respecto a t, obtenemos,

begin {align *} L frac {d ^ 2i (t)} {dt ^ 2} + frac {i (t)} {C} = 0 end {align *}

(13) begin {ecuación *} frac {d ^ 2i (t)} {dt ^ 2} + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {ecuación *}

La ecuación anterior indica la ecuación diferencial de segundo orden del circuito LC.

Reemplazar frac {d ^ 2} {dt ^ 2}con s 2 , obtenemos,

(14) begin {ecuación *} S ^ 2i (t) + frac {1} {LC} i (t) = 0 end {ecuación *}

Ahora, omega_0 = frac {1} { sqrt {LC}}por lo tanto, omega_0 ^ 2 = frac {1} {LC}póngalo en la ecuación anterior, obtenemos,

begin {align *} S ^ 2i (t) + omega_0 ^ 2 i (t) = 0 end {align *}

begin {align *} S ^ 2 + omega_0 ^ 2 = 0 end {align *}

Carga y descarga del circuito LC

En un circuito LC, el inductor y el condensador son elementos de almacenamiento, es decir, el inductor almacena energía en su campo magnético (B) , dependiendo de la corriente que lo atraviesa, y el condensador almacena energía en el campo eléctrico (E) entre sus placas conductoras, según el voltaje a través de él.

Suponga que inicialmente, el capacitor contiene una carga q, y luego toda la energía del circuito se almacena inicialmente en el campo eléctrico del capacitor. La energía almacenada en el condensador es

begin {align *} begin {split} E_C = frac {1} {2} CV ^ 2 & = frac {1} {2} C frac {q ^ 2} {C ^ 2} & = frac {1} {2} frac {q ^ 2} {C ^ 2} (V = frac {q} {C}) end {split} end {align *}

Carga y descarga del circuito LC
Carga y descarga de circuito LC

Ahora, si un inductor está conectado a través de un condensador cargado, el voltaje a través del condensador hará que la corriente fluya a través del inductor, lo que produce un campo magnético alrededor del inductor, el condensador comienza a descargarse y el voltaje a través del condensador se reduce a cero a medida que la carga es consumido por el flujo actual ( Yo = frac {q} {t}).

Ahora el condensador está completamente descargado y toda la energía se almacena en el campo magnético del inductor. En este instante, la corriente está en su valor máximo y la energía almacenada en el inductor viene dada por ( E_L = frac {1} {2} LI ^ 2).

Debido a la ausencia de una resistencia, no hay disipación de energía en el circuito. Por tanto, la energía máxima almacenada en el condensador es igual a la energía máxima almacenada en el inductor.

En este instante, la energía almacenada en el campo magnético alrededor de un inductor induce un voltaje a través de la bobina de acuerdo con la ley de inducción electromagnética de Faraday ( e = N frac {d phi} {dt}). Este voltaje inducido hace que fluya una corriente a través del capacitor y el capacitor comienza a recargarse con un voltaje de polaridad opuesta.

Este proceso de carga y descarga comenzará nuevamente, con la corriente fluyendo en la dirección opuesta a través del inductor como antes.

Por lo tanto, la carga y descarga del circuito LC puede ser cíclica y la energía oscila entre el condensador y el inductor hasta que la resistencia interna hace que las oscilaciones se apaguen.

La figura muestra el voltaje de carga y descarga y la forma de onda de la corriente.

Forma de onda del circuito de carga y descarga de Lc
Voltaje de carga y descarga y forma de onda de corriente

Aplicaciones de circuitos LC

Las aplicaciones de los circuitos LC incluyen:

  • Las aplicaciones de un circuito LC involucran principalmente a muchos dispositivos electrónicos, particularmente equipos de radio como transmisores, receptores de radio y receptores de TV, amplificadores, osciladores, filtros, sintonizadores y mezcladores de frecuencia.
  • Los circuitos LC también se utilizan para producir señales a una frecuencia particular o aceptar una señal de una señal más compleja a una frecuencia particular.
  • El propósito principal de un circuito LC suele ser oscilar con una amortiguación mínima, por lo que la resistencia se hace lo más baja posible.
  • Un circuito de resonancia en serie proporciona aumento de voltaje .
  • Un circuito de resonancia paralelo proporciona aumento de corriente .

¿Qué es la amortiguación?

La amortiguación es la disminución de la amplitud de una oscilación o movimiento ondulatorio con el tiempo. La resonancia es el aumento de amplitud a medida que disminuye la amortiguación.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).
email
winaycirculo@gmail.com

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