Ley de Biot Savart: declaración, derivación y aplicaciones

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¿Qué es la ley de Biot Savart?

La ley de Biot Savart es una ecuación que describe el campo magnético generado por una corriente eléctrica constante . Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica. Ley de Biot-Savart es consistente tanto con la ley circuital de Ampere y el teorema de Gauss . La ley de Biot Savart es fundamental para la magnetostática y desempeña un papel similar al de la ley de Coulomb en la electrostática.

¿Qué es la ley de Biot Savart?

La ley de Biot-Savart fue creada por dos físicos franceses, Jean Baptiste Biot y Felix Savart derivaron la expresión matemática de la densidad de flujo magnético en un punto debido a un conductor portador de corriente cercano, en 1820. Viendo la desviación de una aguja de brújula magnética, estos dos científicos concluyeron que cualquier elemento actual proyecta un campo magnético en el espacio que lo rodea.

Jean Baptiste Biot y Felix Savart

A través de observaciones y cálculos, habían derivado una expresión matemática, que muestra, la densidad de flujo magnético de los cuales dB, es directamente proporcional a la longitud del elemento dl, la corriente I, el seno del ángulo y θ entre la dirección de la corriente y el vector que une un punto dado del campo magnético y el elemento de corriente y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto dado al elemento de corriente, r.

Declaración y derivación de la ley de Biot Savart

La ley de Biot-Savart se puede establecer como:

Donde, k es una constante, dependiendo de las propiedades magnéticas del medio y del sistema de unidades empleadas. En el sistema SI de unidades ,

Por lo tanto, la derivación final de la ley de Biot-Savart es,

Consideremos un cable largo que lleva una corriente I y también un punto p en el espacio. El cable se presenta en la imagen siguiente, en color rojo. Consideremos también una longitud infinitamente pequeña del cable dl a una distancia r del punto P como se muestra. Aquí, r es un vector de distancia que forma un ángulo θ con la dirección de la corriente en la porción infinitesimal del cable.

Si intenta visualizar la condición, puede comprender fácilmente la densidad del campo magnético en el punto P debido a que la longitud infinitesimal dl del cable es directamente proporcional a la corriente transportada por esta parte del cable.

Como la corriente a través de esa longitud infinitesimal de cable es la misma que la corriente transportada por todo el cable, podemos escribir,

También es muy natural pensar que la densidad del campo magnético en ese punto P debido a esa longitud infinitesimal dl de alambre es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia recta desde el punto P al centro de dl. Matemáticamente podemos escribir esto como,

Ley de Biot Savart

Por último, la densidad del campo magnético en ese punto P debido a esa porción infinitesimal del cable también es directamente proporcional a la longitud real de la longitud infinitesimal dl del cable.

Como θ es el ángulo entre el vector de distancia r y la dirección de la corriente a través de esta porción infinitesimal del cable, la componente de dl que mira directamente perpendicular al punto P es dlsinθ,

Ahora, combinando estas tres declaraciones, podemos escribir,

Esta es la forma básica de la ley de Biot Savart.

Ahora, poniendo el valor de la constante k (que ya hemos introducido al principio de este artículo) en la expresión anterior, obtenemos

Aquí, μ 0 utilizado en la expresión de la constante k es la permeabilidad absoluta del aire o el vacío y su valor es 4π10 -7 W b / Am en el sistema SI de unidades. μr de la expresión de la constante k es la permeabilidad relativa del medio.

Ahora, la densidad de flujo (B) en el punto P debido a la longitud total del conductor o cable portador de corriente se puede representar como,

Ley de Biot Savart

Si D es la distancia perpendicular del punto P al cable, entonces

Ahora, la expresión de la densidad de flujo B en el punto P se puede reescribir como,

Según la figura anterior,

Finalmente, la expresión de B viene como,

Este ángulo θ depende de la longitud del cable y la posición del punto P. Digamos que para una cierta longitud limitada del cable, el ángulo θ como se indica en la figura anterior varía de θ1 a θ2. Por lo tanto, la densidad de flujo magnético en el punto P debido a la longitud total del conductor es,

Imaginemos que el cable es infinitamente largo, entonces θ variará de 0 a π, es decir, θ 1 = 0 a θ 2 = π. Poniendo estos dos valores en la expresión final anterior de la ley de Biot Savart , obtenemos,

Esto no es más que la expresión de la Ley de Ampere .

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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