Principio de incertidumbre de Heisenberg: ecuación y explicación

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Principio de incertidumbre de Heisenberg

¿Qué es el principio de incertidumbre de Heisenberg?

El principio de incertidumbre de Heisenberg es uno de los resultados más interesantes y consecuentes de la naturaleza estadística de la mecánica cuántica. La realización más famosa del principio de incertidumbre establece que no se puede medir con absoluta certeza la posición y el momento de un sistema cuántico. Ésta es la realización más común que se encuentra en toda la ciencia popular. Sin embargo, el principio de incertidumbre es mucho más generalizado. El principio de plena incertidumbre también se caracteriza por la desigualdad. El principio de incertidumbre generalizada se expresa como:

La fórmula del principio de incertidumbre de Heisenberg

Sólo un caso especial de esta relación generalizada se aplica a la posición y al impulso que atrae la mayor atención. En este artículo, exploraremos lo que significa medir algo, el principio de incertidumbre y, finalmente, el principio de incertidumbre de Heisenberg (¡no son lo mismo!).

El principio de incertidumbre de Heisenberg es una consecuencia de la naturaleza estadística de la mecánica cuántica. Para comprenderlo, primero hay que comprender la medición.

Que es Medición en Física Cuántica?

El acto de medir perturba un sistema cuántico. Por ejemplo, si tuviera que realizar cualquier medición como en el artículo sobre mediciones eléctricas , perturbaría el sistema eléctrico subyacente de partículas (también descubriría rápidamente que nunca podrá medir con absoluta certeza, pero eso se tratará más adelante). fecha).

La perturbación en el sistema cuántico se debe a que el proceso de medición es en realidad el mismo que actuar sobre una función de onda del sistema cuántico (que satisface la Ecuación de Schrodinger ) con un operador.

Una vez que el operador actúa sobre la función de onda, la función de onda colapsará en un estado propio correspondiente a ese operador. ¡Qué bocado! Demos un paso atrás de toda esta jerga y volvamos a los primeros principios.

Realicemos un experimento mental sobre el efecto fotoeléctrico tratando de medir dónde exactamente en el otro extremo de la rendija aterrizará la partícula (imagina que tienes una regla y estás tratando de medir en qué parte del X

Eso significa que existe una probabilidad distinta de cero de encontrar la partícula en cualquier lugar a lo largo del X

semi-conocido - partícula-posición-demostración-incertidumbre

Si de alguna manera supiéramos exactamente dónde está ubicada la partícula a lo largo del eje de posición, la distribución de probabilidad se vería algo así como:

Completamente conocido - Incertidumbre de demostración de posición de partícula

Si tuviéramos poca o ninguna idea de dónde se encuentra la partícula en el otro extremo de la rendija, la distribución de probabilidad se vería así:

casi-completamente-desconocido - partícula-posición-demostración-incertidumbre

Aquí es donde entra en juego la naturaleza estadística de la mecánica cuántica. Cualitativamente, la función de onda proporciona una distribución de probabilidad para cada observable que queremos medir (piense en energía, impulso, posición, energía total, etc.).

Derivación del principio de incertidumbre de Heisenberg

La derivación de la fórmula de incertidumbre generalizada se cubrirá en una etapa posterior. El primer hito teórico tiene que ver con entender que cada vez que se va a realizar una medición, un operador actúa sobre el vector de estado que representa el sistema cuántico. Para la posición, el operador se da como (donde el sombrero implica que es un operador):

Entonces, cuando mide la posición de un sistema cuántico, está multiplicando el estado por X

Aquí es donde entra en juego la conversación sobre observables incompatibles. Siempre que los operadores asociados con los observables tengan un conmutador distinto de cero, no se pueden observar ambos con certeza. El conmutador para dos operadores se define de la siguiente manera:

Este conmutador de los dos operadores correspondientes a los observables que estamos tratando de medir está respaldado por la fórmula del principio de incertidumbre generalizada. Calculemos ahora el conmutador para la posición y el momento:

Por lo tanto, si sustituye este resultado en la fórmula del principio de incertidumbre generalizada, obtendrá el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg:

 begin {align *}  sigma ^ 2_ {x}  sigma ^ 2_ {p} &  geq  left ( frac {1} {2}  times (- i  hbar)  right) \ & =  frac { hbar ^ 2} {4} \  implica  sigma_ {x}  sigma_ {p} &  geq  frac { hbar} {2}  end {align *}

Ésta es la famosa realización del principio de incertidumbre. Se puede interpretar de la siguiente manera: a medida que se vuelve más y más seguro acerca de la ubicación de su sistema cuántico (es decir  sigma_x  longrightarrow 0, más inseguro se volverá sobre el impulso del sistema (es decir,  sigma_p  longrightarrow  inftyy viceversa).

Nuevamente, esto se debe al hecho de que la desviación estándar aumentará para el impulso a medida que la desviación estándar para la posición se vuelva más pequeña (más certeza) para mantener el principio de incertidumbre.

Citas

  1. Shankar, R. (1980).Principios de la mecánica cuántica . 1ª ed. Nueva York: Springer Science, págs. 1-40.
  2. Gasiorowicz, S. (2019).Física cuántica . 2ª ed. Canadá: Hamilton Printing, págs. 1-50.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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