Parámetros T: ¿Qué son? (Ejemplos de problemas y cómo convertir parámetros T a otros parámetros)

Se el primero en calificar

que son los parámetros t

¿Qué son los parámetros T?

Los parámetros T se definen como parámetros de línea de transmisión o parámetros ABCD. En una red de dos puertos , el puerto 1 se considera el extremo de envío y el puerto 2 se considera el extremo de recepción. En el diagrama de red a continuación, los terminales del puerto 1 representan el puerto de entrada (envío). De manera similar, los terminales del puerto 2 representan el puerto de salida (recepción).

parámetro t de red de dos puertos
Parámetro T en una red de dos puertos

Para la red de dos puertos anterior, las ecuaciones de los parámetros T son;

(1)  begin {ecuación *} V_S = AV_R + BI_R  end {ecuación *}

(2)  begin {ecuación *} I_S = CV_R + DI_R  end {ecuación *}

Dónde;

V S = Tensión final de envío
I S = Corriente final de envío
V R = Tensión final de recepción
I R = Corriente final de recepción

Estos parámetros se utilizan para realizar modelos matemáticos de una línea de transmisión. Los parámetros A y D no tienen unidades. La unidad de los parámetros B y C es ohm y mho, respectivamente.

 [ begin {bmatrix} V_S \ I_S  end {bmatrix} =  begin {bmatrix} A & B \ C & D  end {bmatrix}  begin {bmatrix} V_R \ I_R  end {bmatrix}  ]

Para encontrar el valor de los parámetros T, necesitamos abrir y cortocircuitar el extremo receptor. Cuando el extremo receptor está en circuito abierto, la corriente del extremo receptor I R es cero. Ponga este valor en las ecuaciones y obtenemos el valor de los parámetros A y C.

 [I_R = 0 ]

condición de circuito abierto

De la ecuación-1;

 [V_S = AV_R + B (0) ]

 [V_S = AV_R ]

 [A =  left  frac {V_S} {V_R}  right | _ {I_R = 0} ]

De la ecuación-2;

 [I_S = CV_R + D (0) ]

 [I_S = CV_R ]

 [C =  left  frac {I_S} {V_R}  right | _ {I_R = 0} ]

Cuando el extremo receptor está en cortocircuito, el voltaje a través de los terminales receptores V R es cero. Al poner este valor en la ecuación, podemos obtener los valores de los parámetros B y D.

 [V_R = 0 ]

condición de cortocircuito

De la ecuación-1;

 [V_S = A (0) + BI_R ]

 [V_S = BI_R ]

 [B =  left  frac {V_S} {I_R}  right | _ {V_R = 0} ]

De la ecuación-2;

 [I_S = C (0) + DI_R ]

 [I_S = DI_R ]

 [D =  left  frac {I_S} {I_R}  right | _ {V_R = 0} ]

Parámetros T resueltos Problema de ejemplo

Considere que hay una impedancia conectada entre el extremo de envío y los terminales del extremo de recepción como se muestra en la siguiente figura. Encuentre los parámetros T de una red dada.

t ejemplo de parámetro
Ejemplo de parámetro T

Aquí, la corriente final de envío es la misma que la corriente final de recepción.

 [I_S = I_R ]

(3)  begin {ecuación *} I_S = (0) V_R + (1) I_R  end {ecuación *}

Ahora, aplicamos KVL a la red,

 [V_S = V_R + I_S Z_1 ]

 [V_S = V_R + I_R Z_1 ]

(4)  begin {ecuación *} V_S = (1) V_R + (Z_1) I_R  end {ecuación *}

Compare la ecuación 1 y 4;

 [A = 1, , B = Z_1 ]

Compare la ecuación 2 y 3;

 [C = 0, , D = 1 ]

Parámetros T de una línea de transmisión

Según la longitud de la línea, las líneas de transmisión se clasifican como;

  • Línea de transmisión corta
  • Línea de transmisión media
  • Línea de transmisión larga

Ahora, encontramos parámetros T para todo tipo de líneas de transmisión.

Línea de transmisión corta

La línea de transmisión que tiene una longitud de menos de 80 km y un nivel de voltaje de menos de 20 kV se considera una línea de transmisión corta . Debido a la pequeña longitud y al nivel de voltaje más bajo, se desprecia la capacitancia de la línea.

Por lo tanto, estamos considerando solo la resistencia y la inductancia al modelar una línea de transmisión corta. La representación gráfica de la línea de transmisión corta es como se muestra a continuación.

t parámetro de línea de transmisión corta
Parámetro T de la línea de transmisión corta

Donde,
I R = Corriente final de recepción
V R = Tensión final de recepción
Z = Impedancia de carga
I S = Corriente final de envío
V S = Tensión final de envío
R = Resistencia de línea
L = Inductancia de línea

Cuando la corriente fluye a través de la línea de transmisión, la caída de IR ocurre en la resistencia de la línea y la caída de IX L ocurre en la reactancia inductiva.

Desde la red anterior, la corriente final de envío es la misma que la corriente final de recepción.

 [I_S = I_R ]

 [V_S = V_R + I_R Z ]

Ahora, compare estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T (ecuaciones 1 y 2). Y obtenemos los valores de los parámetros A, B, C y D para una línea de transmisión corta.

 [A = 1, B = Z, C = 0, D = 1 ]

Línea de transmisión media

La línea de transmisión que tiene una longitud de 80 km a 240 km y un nivel de voltaje de 20 kV a 100 kV se considera una línea de transmisión media .

En el caso de una línea de transmisión media, no podemos descuidar la capacitancia. Debemos considerar la capacitancia al modelar una línea de transmisión media.

Según la ubicación de la capacitancia, las líneas de transmisión media se clasifican en tres métodos;

  • Método de condensador final
  • Método T nominal
  • Método π nominal

Método de condensador final

En este método, se supone que la capacitancia de la línea se concentra al final de una línea de transmisión. La representación gráfica del método del condensador final se muestra debajo de la figura.

t parámetro del método del condensador final
Parámetro T del método del condensador final

Dónde;
I C = Corriente del condensador = YV R

De la figura anterior,

 [I_S = I_C + I_R ]

(5)  begin {ecuación *} I_S = Y V_R + I_R  end {ecuación *}

Por KVL, podemos escribir;

 [V_S = V_R + Z I_S ]

 [V_S = V_R + Z (I_C + I_R) ]

 [V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R) ]

 [V_S = V_R + ZY V_R + Z I_R ]

(6)  begin {ecuación *} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R  end {ecuación *}

Ahora, compare las ecuaciones 5 y 6 con las ecuaciones de los parámetros T;

 [A = 1 + ZY, ;  B = Z, ;  C = Y, ;  D = 1 ]

Método T nominal

En este método, la capacitancia de la línea se coloca en el punto medio de la línea de transmisión. La representación gráfica del método T nominal es como se muestra a continuación.

parámetro t del método t nominal
Parámetro T del método T nominal

Donde,
I C = Corriente del capacitor = YV C
V C = Voltaje del capacitor

 [V_S = V_C + I_S  frac {Z} {2} ]

 [V_C = V_R + I_R  frac {Z} {2} ]

De KCL;

 [I_S = I_R + I_C ]

 [I_S = I_R + Y V_C ]

 [I_S = I_R + Y (V_R + I_R  frac {Z} {2}) ]

 [I_S = I_R + Y V_R + Y I_R  frac {Z} {2}) ]

(7)  begin {ecuación *} I_S = Y V_R + I_R (1 +  frac {YZ} {2})  end {ecuación *}

Ahora,

 [V_S = V_R + I_R  frac {Z} {2} + I_S  frac {Z} {2} ]

 [V_S = V_R + I_R  frac {Z} {2} +  frac {Z} {2}  left [YV_R + I_R (1 +  frac {YZ} {2})  right] ]

 [V_S = V_R + I_R  frac {Z} {2} +  frac {Z} {2} YV_R +  frac {Z} {2} I_R (1 +  frac {YZ} {2}) ]

(8)  begin {ecuación *} V_S = V_R  left (1 +  frac {YZ} {2}  right) + I_R  left (Z +  frac {YZ ^ 2} {4}  right)  end {ecuación * }

Ahora, compare las ecuaciones-7 y 8 con las ecuaciones del parámetro T y obtenemos,

 [A = 1 +  frac {YZ} {2} ]

 [B = Z (1+  frac {YZ} {4}) ]

 [C = Y ]

 [D = 1 +  frac {YZ} {2} ]

Método π nominal

En este método, la capacitancia de la línea de transmisión se divide en mitades. La mitad se coloca en el extremo de envío y la segunda mitad se coloca en el extremo de recepción. La representación gráfica del método π nominal es como se muestra a continuación.

parámetro t del método pi nominal
Parámetro T del método PI nominal

 [I_S = I_1 + I_ {C2} ]

 [I_1 = I_R + I_ {C1} ]

 [I_ {C1} =  frac {Y} {2} V_R ;  y ;  I_ {C2} =  frac {Y} {2} V_S ]

De la figura anterior, podemos escribir;

 [V_S = V_R + I_1 Z ]

 [V_S = V_R + (I_R + I_ {C1}) Z ]

 [V_S = V_R + Z (I_R +  frac {Y} {2} V_R) ]

 [V_S = V_R + Z I_R + Z  frac {Y} {2} V_R ]

(9)  begin {ecuación *} V_S = V_R  left (1 +  frac {YZ} {2}  right) + Z I_R  end {ecuación *}

Ahora,

 [I_S = I_1 + I_ {C2} ]

 [I_S = (I_R + I_ {C1}) + I_ {C2} ]

 [I_S = I_R +  frac {Y} {2} V_R +  frac {Y} {2} V_S ]

Ponga el valor de V S en esta ecuación,

 [I_S = I_R +  frac {Y} {2} V_R +  frac {Y} {2}  left [V_R  left (1 +  frac {YZ} {2}  right) + Z I_R  right] ]

 [I_S = I_R +  frac {Y} {2} V_R +  frac {Y} {2} (1 +  frac {YZ} {2}) V_R +  frac {Y} {2} I_R Z ]

(10)  begin {ecuación *} I_S = I_R  left [1 +  frac {YZ} {2}  right] + Y V_R  left [1 +  frac {YZ} {4}  right]  end {ecuación *}

Comparando las ecuaciones-9 y 10 con ecuaciones de parámetros T, obtenemos;

 [A = 1 +  frac {YZ} {2} ]

 [B = Z ]

 [C = Y  left (1 +  frac {YZ} {4}  right) ]

 [D = 1 +  frac {YZ} {2} ]

Línea de transmisión larga

La línea de transmisión larga se modela como una red distribuida. No se puede asumir como una red agrupada. El modelo distribuido de una línea de transmisión larga es como se muestra a continuación en la figura.

t parámetro de la línea de transmisión larga
Parámetro T de la línea de transmisión larga

La longitud de una línea es X km. Para analizar la línea de transmisión, consideramos una pequeña parte (dx) de la línea. Y es como se muestra a continuación en la figura.

parámetro t de la línea de transmisión larga

Zdx = impedancia en serie
Ydx = impedancia en derivación

El voltaje aumenta a medida que aumenta la longitud. Entonces, el aumento de voltaje es;

 [dV = IZdx ]

 [ frac {dV} {dx} = IZ ]

De manera similar, la corriente consumida por elemento es;

 [dI = VYdx ]

 [ frac {dI} {dx} = VY ]

Diferenciar las ecuaciones anteriores;

 [ frac {d ^ 2V} {dx ^ 2} = Z  frac {dI} {dx} = ZVY ]

La solución general de la ecuación anterior es;

 [V = K_1 cosh (x  sqrt {YZ}) + K_2 sinh (x  sqrt {YZ}) ]

Ahora, diferencia esta ecuación con respecto a X,

 [ frac {dv} {dx} = K_1  sqrt {YZ} sinh (x  sqrt {YZ}) + K_2  sqrt {YZ} cosh (x  sqrt {YZ}) ]

 [IZ = K_1  sqrt {YZ} sinh (x  sqrt {YZ}) + K_2  sqrt {YZ} cosh (x  sqrt {YZ}) ]

 [I =  sqrt { frac {Y} {Z}}  left [K_1 sinh (x  sqrt {YZ}) + K_2 cosh (x  sqrt {YZ}) ]

Ahora, necesitamos encontrar las constantes K 1 y K 2 ;

Por eso asumir;

 [x = 0, ;  V = V_R, ;  I = I_R ]

Poner estos valores en las ecuaciones anteriores;

 [V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0 ]

 [V_R = K_1 + 0 ]

 [K_1 = V_R ]

 [I_R =  sqrt { frac {Y} {Z}}  left [K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0  right] ]

 [I_R =  sqrt { frac {Y} {Z}} [0 + K_2] ]

 [K_2 =  sqrt { frac {Z} {Y}} ]

Por lo tanto,

 [V_S = V_R cosh (x  sqrt {YZ}) +  sqrt { frac {Z} {Y}} I_R sinh (x  sqrt {YZ}) ]

 [I_S =  sqrt { frac {Y} {Z}} V_R senh (x  sqrt {YZ}) + I_R cosh (x  sqrt {YZ}) ]

 [Z_C =  sqrt { frac {Z} {Y}} , y ,  gamma =  sqrt {YZ} ]

Dónde,

Z C = Impedancia característica
ɣ = Constante de propagación

 [V_S = V_R cosh  gamma x + I_R Z_C sinh  gamma x ]

 [I_S =  frac {V_R} {Z_C} sinh  gamma x + I_R cosh  gamma x ]

Compare estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T;

 [A = cosh  gamma x ]

 [B = Z_C sinh  gamma x ]

 [C =  frac {sinh  gamma x} {Z_C} ]

 [D =  cos  gamma x ]

Conversión de parámetros T a otros parámetros

Podemos encontrar otros parámetros a partir de las ecuaciones de los parámetros T. Para eso, necesitamos encontrar un conjunto de ecuaciones de otros parámetros en términos de T parámetros.

Considere la red de dos puertos generalizada como se muestra a continuación.

conversión de t parámetros a otros parámetros

En esta figura, se cambia la dirección de recepción de la corriente final. Por lo tanto, consideramos pocos cambios en las ecuaciones de los parámetros T.

 [V_S = V_1, ;  V_R = V_2, ;  I_S = I_1, ;  I_R = -I_2, ​​]

Las ecuaciones de los parámetros T es;

(11)  begin {ecuación *} V_1 = AV_2 - BI_2  end {ecuación *}

(12)  begin {ecuación *} I_1 = CV_2 - DI_2  end {ecuación *}

Parámetro T a parámetros Z

El siguiente conjunto de ecuaciones representa parámetros Z .

(13)  begin {ecuación *} V_1 = Z_ {11} I_1 + Z_ {12} I_2  end {ecuación *}

(14)  begin {ecuación *} V_2 = Z_ {21} I_1 + Z_ {22} I_2  end {ecuación *}

Ahora, encontraremos las ecuaciones de los parámetros Z en términos de los parámetros T.

 [CV_2 = I_1 + DI_2 ]

(15)  begin {ecuación *} V_2 =  frac {1} {C} I_1 +  frac {D} {C} I_2  end {ecuación *}

Ahora compare la ecuación-14 con la ecuación-15

 [Z_ {21} =  frac {1} {C},  quad Z_ {22} =  frac {D} {C} ]

Ahora,

 [V_1 = A  left [ frac {1} {C} I_1 +  frac {D} {C} I_2  right] - BI_2 ]

 [V_1 =  frac {A} {C} I_1 +  frac {AD} {C} I_2 - BI_2 ]

(dieciséis)  begin {ecuación *} V_1 =  frac {A} {C} I_1 +  left ( frac {AD-BC} {C}  right) I_2  end {ecuación *}

Compare la ecuación-13 con la ecuación-16;

 [Z_ {11} =  frac {A} {C},  quad Z_ {12} =  frac {AD-BC} {C} ]

Parámetro T a parámetros Y

El conjunto de ecuaciones de los parámetros Y es;

(17)  begin {ecuación *} I_1 = Y_ {11} V_1 + Y_ {12} V_2  end {ecuación *}

(18)  begin {ecuación *} I_2 = Y_ {21} V_1 + Y_ {22} V_2  end {ecuación *}

De la ecuación-12;

 [DI_2 = CV_2 - I_1 ]

 [I_2 =  frac {C} {D} V_2 -  frac {1} {D} I_1 ]

Ponga este valor en la ecuación-11;

 [V_1 = AV_2 - B  left [ frac {C} {D} V_2 -  frac {1} {D} I_1  right] ]

 [V_1 = AV_2 -  frac {BC} {D} V_2 +  frac {B} {D} I_1 ]

 [V_1 = V_2  left [ frac {AD-BC} {D}  right] +  frac {B} {D} I_1 ]

 [ frac {B} {D} I_1 = V_1 - V_2  left [ frac {AD-BC} {D}  right] ]

(19)  begin {ecuación *} I_1 =  frac {D} {B} V_1 -  frac {BC-AD} {B} V_2  end {ecuación *}

Compare esta ecuación con la ecuación 17;

 [Y_ {11} =  frac {D} {B},  quad Y_ {12} =  frac {BC-AD} {B} ]

De la ecuación-11;

 [BI_2 = AV_2 - V_1 ]

(20)  begin {ecuación *} I_2 =  frac {A} {B} V_2 -  frac {1} {B} V_1  end {ecuación *}

Compare esta ecuación con la ecuación 18;

 [Y_ {21} =  frac {-1} {B},  quad Y_ {22} =  frac {A} {B} ]

Parámetro T a parámetros H

El conjunto de ecuaciones de los parámetros H es;

(21)  begin {ecuación *} V_1 = H_ {11} I_1 + H_ {12} V_2  end {ecuación *}

(22)  begin {ecuación *} I_2 = H_ {21} I_1 + H_ {22} V_2  end {ecuación *}

De la ecuación-12;

 [DI_2 = CV_2 - I_1 ]

(23)  begin {ecuación *} I_2 =  frac {C} {D} V_2 -  frac {1} {D} I_1  end {ecuación *}

Compare esta ecuación con la ecuación 22;

 [H_ {21} =  frac {-1} {D},  quad H_ {22} =  frac {C} {D} ]

 [V_1 = AV_2 - B  left [ frac {C} {D} V_2 -  frac {1} {D} I_1  right] ]

 [V_1 = AV_2 -  frac {BC} {D} V_2 +  frac {B} {D} I_1 ]

(24)  begin {ecuación *} V_1 = V_2  left [ frac {AD-BC} {D}  right] +  frac {B} {D} I_1  end {ecuación *}

 [H_ {11} =  frac {B} {D},  quad H_ {12} =  frac {AD-BC} {D} ]

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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