▷ Parámetros T: ¿Qué son? (Ejemplos de problemas y cómo convertir parámetros T a otros parámetros)

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Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS

Indice de contenidos

¿Qué son los parámetros T?
Parámetros T resueltos Problema de ejemplo
Parámetros T de una línea de transmisión
- Línea de transmisión corta
- Línea de transmisión media
Conversión de parámetros T a otros parámetros

¿Qué son los parámetros T?

Los parámetros T se definen como parámetros de línea de transmisión o parámetros ABCD. En una red de dos puertos , el puerto 1 se considera el extremo de envío y el puerto 2 se considera el extremo de recepción. En el diagrama de red a continuación, los terminales del puerto 1 representan el puerto de entrada (envío). De manera similar, los terminales del puerto 2 representan el puerto de salida (recepción).

parámetro t de red de dos puertos — Parámetro T en una red de dos puertos

Para la red de dos puertos anterior, las ecuaciones de los parámetros T son;

(1) $begin {ecuación *} V_S = AV_R + BI_R end {ecuación *}$

(2) $begin {ecuación *} I_S = CV_R + DI_R end {ecuación *}$

Dónde;

V _S = Tensión final de envío
I _S = Corriente final de envío
V _R = Tensión final de recepción
I _R = Corriente final de recepción

Estos parámetros se utilizan para realizar modelos matemáticos de una línea de transmisión. Los parámetros A y D no tienen unidades. La unidad de los parámetros B y C es ohm y mho, respectivamente.

$[ begin {bmatrix} V_S \ I_S end {bmatrix} = begin {bmatrix} A & B \ C & D end {bmatrix} begin {bmatrix} V_R \ I_R end {bmatrix} ]$

Para encontrar el valor de los parámetros T, necesitamos abrir y cortocircuitar el extremo receptor. Cuando el extremo receptor está en circuito abierto, la corriente del extremo receptor I _R es cero. Ponga este valor en las ecuaciones y obtenemos el valor de los parámetros A y C.

De la ecuación-1;

$[A = left frac {V_S} {V_R} right | _ {I_R = 0} ]$

De la ecuación-2;

$[C = left frac {I_S} {V_R} right | _ {I_R = 0} ]$

Cuando el extremo receptor está en cortocircuito, el voltaje a través de los terminales receptores V _R es cero. Al poner este valor en la ecuación, podemos obtener los valores de los parámetros B y D.

De la ecuación-1;

$[B = left frac {V_S} {I_R} right | _ {V_R = 0} ]$

De la ecuación-2;

$[D = left frac {I_S} {I_R} right | _ {V_R = 0} ]$

Parámetros T resueltos Problema de ejemplo

Considere que hay una impedancia conectada entre el extremo de envío y los terminales del extremo de recepción como se muestra en la siguiente figura. Encuentre los parámetros T de una red dada.

t ejemplo de parámetro — Ejemplo de parámetro T

Aquí, la corriente final de envío es la misma que la corriente final de recepción.

(3) $begin {ecuación *} I_S = (0) V_R + (1) I_R end {ecuación *}$

Ahora, aplicamos KVL a la red,

(4) $begin {ecuación *} V_S = (1) V_R + (Z_1) I_R end {ecuación *}$

Compare la ecuación 1 y 4;

Compare la ecuación 2 y 3;

Parámetros T de una línea de transmisión

Según la longitud de la línea, las líneas de transmisión se clasifican como;

Línea de transmisión corta

Línea de transmisión media
Línea de transmisión larga

Ahora, encontramos parámetros T para todo tipo de líneas de transmisión.

Línea de transmisión corta

La línea de transmisión que tiene una longitud de menos de 80 km y un nivel de voltaje de menos de 20 kV se considera una línea de transmisión corta . Debido a la pequeña longitud y al nivel de voltaje más bajo, se desprecia la capacitancia de la línea.

Por lo tanto, estamos considerando solo la resistencia y la inductancia al modelar una línea de transmisión corta. La representación gráfica de la línea de transmisión corta es como se muestra a continuación.

t parámetro de línea de transmisión corta — Parámetro T de la línea de transmisión corta

Donde,
I _R = Corriente final de recepción
V _R = Tensión final de recepción
Z = Impedancia de carga
I _S = Corriente final de envío
V _S = Tensión final de envío
R = Resistencia de línea
L = Inductancia de línea

Cuando la corriente fluye a través de la línea de transmisión, la caída de IR ocurre en la resistencia de la línea y la caída de IX _L ocurre en la reactancia inductiva.

Desde la red anterior, la corriente final de envío es la misma que la corriente final de recepción.

Ahora, compare estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T (ecuaciones 1 y 2). Y obtenemos los valores de los parámetros A, B, C y D para una línea de transmisión corta.

Línea de transmisión media

La línea de transmisión que tiene una longitud de 80 km a 240 km y un nivel de voltaje de 20 kV a 100 kV se considera una línea de transmisión media .

En el caso de una línea de transmisión media, no podemos descuidar la capacitancia. Debemos considerar la capacitancia al modelar una línea de transmisión media.

Según la ubicación de la capacitancia, las líneas de transmisión media se clasifican en tres métodos;

Método de condensador final
Método T nominal
Método π nominal

Método de condensador final

En este método, se supone que la capacitancia de la línea se concentra al final de una línea de transmisión. La representación gráfica del método del condensador final se muestra debajo de la figura.

t parámetro del método del condensador final — Parámetro T del método del condensador final

Dónde;
I _C = Corriente del condensador = YV _R

De la figura anterior,

(5) $begin {ecuación *} I_S = Y V_R + I_R end {ecuación *}$

Por KVL, podemos escribir;

(6) $begin {ecuación *} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R end {ecuación *}$

Ahora, compare las ecuaciones 5 y 6 con las ecuaciones de los parámetros T;

Método T nominal

En este método, la capacitancia de la línea se coloca en el punto medio de la línea de transmisión. La representación gráfica del método T nominal es como se muestra a continuación.

Donde,
I _C = Corriente del capacitor = YV _C
V _C = Voltaje del capacitor

$[V_S = V_C + I_S frac {Z} {2} ]$

$[V_C = V_R + I_R frac {Z} {2} ]$

De KCL;

$[I_S = I_R + Y (V_R + I_R frac {Z} {2}) ]$

$[I_S = I_R + Y V_R + Y I_R frac {Z} {2}) ]$

(7) $begin {ecuación *} I_S = Y V_R + I_R (1 + frac {YZ} {2}) end {ecuación *}$

Ahora,

$[V_S = V_R + I_R frac {Z} {2} + I_S frac {Z} {2} ]$

$[V_S = V_R + I_R frac {Z} {2} + frac {Z} {2} left [YV_R + I_R (1 + frac {YZ} {2}) right] ]$

$[V_S = V_R + I_R frac {Z} {2} + frac {Z} {2} YV_R + frac {Z} {2} I_R (1 + frac {YZ} {2}) ]$

(8) $begin {ecuación *} V_S = V_R left (1 + frac {YZ} {2} right) + I_R left (Z + frac {YZ ^ 2} {4} right) end {ecuación * }$

Ahora, compare las ecuaciones-7 y 8 con las ecuaciones del parámetro T y obtenemos,

$[A = 1 + frac {YZ} {2} ]$

$[B = Z (1+ frac {YZ} {4}) ]$

$[D = 1 + frac {YZ} {2} ]$

Método π nominal

En este método, la capacitancia de la línea de transmisión se divide en mitades. La mitad se coloca en el extremo de envío y la segunda mitad se coloca en el extremo de recepción. La representación gráfica del método π nominal es como se muestra a continuación.

parámetro t del método pi nominal — Parámetro T del método PI nominal

$[I_S = I_1 + I_ {C2} ]$

$[I_1 = I_R + I_ {C1} ]$

$[I_ {C1} = frac {Y} {2} V_R ; y ; I_ {C2} = frac {Y} {2} V_S ]$

De la figura anterior, podemos escribir;

$[V_S = V_R + (I_R + I_ {C1}) Z ]$

$[V_S = V_R + Z (I_R + frac {Y} {2} V_R) ]$

$[V_S = V_R + Z I_R + Z frac {Y} {2} V_R ]$

(9) $begin {ecuación *} V_S = V_R left (1 + frac {YZ} {2} right) + Z I_R end {ecuación *}$

Ahora,

$[I_S = I_1 + I_ {C2} ]$

$[I_S = (I_R + I_ {C1}) + I_ {C2} ]$

$[I_S = I_R + frac {Y} {2} V_R + frac {Y} {2} V_S ]$

Ponga el valor de V _S en esta ecuación,

$[I_S = I_R + frac {Y} {2} V_R + frac {Y} {2} left [V_R left (1 + frac {YZ} {2} right) + Z I_R right] ]$

$[I_S = I_R + frac {Y} {2} V_R + frac {Y} {2} (1 + frac {YZ} {2}) V_R + frac {Y} {2} I_R Z ]$

(10) $begin {ecuación *} I_S = I_R left [1 + frac {YZ} {2} right] + Y V_R left [1 + frac {YZ} {4} right] end {ecuación *}$

Comparando las ecuaciones-9 y 10 con ecuaciones de parámetros T, obtenemos;

$[A = 1 + frac {YZ} {2} ]$

$[C = Y left (1 + frac {YZ} {4} right) ]$

$[D = 1 + frac {YZ} {2} ]$

Línea de transmisión larga

La línea de transmisión larga se modela como una red distribuida. No se puede asumir como una red agrupada. El modelo distribuido de una línea de transmisión larga es como se muestra a continuación en la figura.

La longitud de una línea es X km. Para analizar la línea de transmisión, consideramos una pequeña parte (dx) de la línea. Y es como se muestra a continuación en la figura.

parámetro t de la línea de transmisión larga

Zdx = impedancia en serie
Ydx = impedancia en derivación

El voltaje aumenta a medida que aumenta la longitud. Entonces, el aumento de voltaje es;

$[ frac {dV} {dx} = IZ ]$

De manera similar, la corriente consumida por elemento es;

$[ frac {dI} {dx} = VY ]$

Diferenciar las ecuaciones anteriores;

$[ frac {d ^ 2V} {dx ^ 2} = Z frac {dI} {dx} = ZVY ]$

La solución general de la ecuación anterior es;

$[V = K_1 cosh (x sqrt {YZ}) + K_2 sinh (x sqrt {YZ}) ]$

Ahora, diferencia esta ecuación con respecto a X,

$[ frac {dv} {dx} = K_1 sqrt {YZ} sinh (x sqrt {YZ}) + K_2 sqrt {YZ} cosh (x sqrt {YZ}) ]$

$[IZ = K_1 sqrt {YZ} sinh (x sqrt {YZ}) + K_2 sqrt {YZ} cosh (x sqrt {YZ}) ]$

$[I = sqrt { frac {Y} {Z}} left [K_1 sinh (x sqrt {YZ}) + K_2 cosh (x sqrt {YZ}) ]$

Ahora, necesitamos encontrar las constantes K ₁ y K ₂ ;

Por eso asumir;

Poner estos valores en las ecuaciones anteriores;

$[I_R = sqrt { frac {Y} {Z}} left [K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 right] ]$

$[I_R = sqrt { frac {Y} {Z}} [0 + K_2] ]$

$[K_2 = sqrt { frac {Z} {Y}} ]$

Por lo tanto,

$[V_S = V_R cosh (x sqrt {YZ}) + sqrt { frac {Z} {Y}} I_R sinh (x sqrt {YZ}) ]$

$[I_S = sqrt { frac {Y} {Z}} V_R senh (x sqrt {YZ}) + I_R cosh (x sqrt {YZ}) ]$

$[Z_C = sqrt { frac {Z} {Y}} , y , gamma = sqrt {YZ} ]$

Dónde,

Z _C = Impedancia característica
ɣ = Constante de propagación

$[I_S = frac {V_R} {Z_C} sinh gamma x + I_R cosh gamma x ]$

Compare estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T;

$[C = frac {sinh gamma x} {Z_C} ]$

Conversión de parámetros T a otros parámetros

Podemos encontrar otros parámetros a partir de las ecuaciones de los parámetros T. Para eso, necesitamos encontrar un conjunto de ecuaciones de otros parámetros en términos de T parámetros.

Considere la red de dos puertos generalizada como se muestra a continuación.

conversión de t parámetros a otros parámetros

En esta figura, se cambia la dirección de recepción de la corriente final. Por lo tanto, consideramos pocos cambios en las ecuaciones de los parámetros T.

Las ecuaciones de los parámetros T es;

(11) $begin {ecuación *} V_1 = AV_2 - BI_2 end {ecuación *}$

(12) $begin {ecuación *} I_1 = CV_2 - DI_2 end {ecuación *}$

Parámetro T a parámetros Z

El siguiente conjunto de ecuaciones representa parámetros Z .

(13) $begin {ecuación *} V_1 = Z_ {11} I_1 + Z_ {12} I_2 end {ecuación *}$

(14) $begin {ecuación *} V_2 = Z_ {21} I_1 + Z_ {22} I_2 end {ecuación *}$

Ahora, encontraremos las ecuaciones de los parámetros Z en términos de los parámetros T.

(15) $begin {ecuación *} V_2 = frac {1} {C} I_1 + frac {D} {C} I_2 end {ecuación *}$

Ahora compare la ecuación-14 con la ecuación-15

$[Z_ {21} = frac {1} {C}, quad Z_ {22} = frac {D} {C} ]$

Ahora,

$[V_1 = A left [ frac {1} {C} I_1 + frac {D} {C} I_2 right] - BI_2 ]$

$[V_1 = frac {A} {C} I_1 + frac {AD} {C} I_2 - BI_2 ]$

(dieciséis) $begin {ecuación *} V_1 = frac {A} {C} I_1 + left ( frac {AD-BC} {C} right) I_2 end {ecuación *}$

Compare la ecuación-13 con la ecuación-16;

$[Z_ {11} = frac {A} {C}, quad Z_ {12} = frac {AD-BC} {C} ]$

Parámetro T a parámetros Y

El conjunto de ecuaciones de los parámetros Y es;

(17) $begin {ecuación *} I_1 = Y_ {11} V_1 + Y_ {12} V_2 end {ecuación *}$

(18) $begin {ecuación *} I_2 = Y_ {21} V_1 + Y_ {22} V_2 end {ecuación *}$

De la ecuación-12;

$[I_2 = frac {C} {D} V_2 - frac {1} {D} I_1 ]$

Ponga este valor en la ecuación-11;

$[V_1 = AV_2 - B left [ frac {C} {D} V_2 - frac {1} {D} I_1 right] ]$

$[V_1 = AV_2 - frac {BC} {D} V_2 + frac {B} {D} I_1 ]$

$[V_1 = V_2 left [ frac {AD-BC} {D} right] + frac {B} {D} I_1 ]$

$[ frac {B} {D} I_1 = V_1 - V_2 left [ frac {AD-BC} {D} right] ]$

(19) $begin {ecuación *} I_1 = frac {D} {B} V_1 - frac {BC-AD} {B} V_2 end {ecuación *}$

Compare esta ecuación con la ecuación 17;

$[Y_ {11} = frac {D} {B}, quad Y_ {12} = frac {BC-AD} {B} ]$

De la ecuación-11;

(20) $begin {ecuación *} I_2 = frac {A} {B} V_2 - frac {1} {B} V_1 end {ecuación *}$

Compare esta ecuación con la ecuación 18;

$[Y_ {21} = frac {-1} {B}, quad Y_ {22} = frac {A} {B} ]$

Parámetro T a parámetros H

El conjunto de ecuaciones de los parámetros H es;

(21) $begin {ecuación *} V_1 = H_ {11} I_1 + H_ {12} V_2 end {ecuación *}$

(22) $begin {ecuación *} I_2 = H_ {21} I_1 + H_ {22} V_2 end {ecuación *}$

De la ecuación-12;

(23) $begin {ecuación *} I_2 = frac {C} {D} V_2 - frac {1} {D} I_1 end {ecuación *}$

Compare esta ecuación con la ecuación 22;

$[H_ {21} = frac {-1} {D}, quad H_ {22} = frac {C} {D} ]$

$[V_1 = AV_2 - B left [ frac {C} {D} V_2 - frac {1} {D} I_1 right] ]$

$[V_1 = AV_2 - frac {BC} {D} V_2 + frac {B} {D} I_1 ]$

(24) $begin {ecuación *} V_1 = V_2 left [ frac {AD-BC} {D} right] + frac {B} {D} I_1 end {ecuación *}$

$[H_ {11} = frac {B} {D}, quad H_ {12} = frac {AD-BC} {D} ]$

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator

Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

winaycirculo@gmail.com

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Parámetros T resueltos Problema de ejemplo

Parámetros T de una línea de transmisión

Línea de transmisión corta

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Parámetro T a parámetros Z

Parámetro T a parámetros Y

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