Ultima edición el 16 septiembre, 2021 por JORGE CABRERA BERRÍOS
Después de leer la teoría de la síntesis de redes , podemos decir fácilmente que cualquier polo del sistema se encuentra en el lado derecho del origen del plano s, lo que hace que el sistema sea inestable. Sobre la base de esta condición A. Hurwitz y EJRouth comenzaron a investigar las condiciones necesarias y suficientes de estabilidad de un sistema. Discutiremos dos criterios para la estabilidad del sistema. Un primer criterio lo da A. Hurwitz y este criterio también se conoce como Criterio de estabilidad de Hurwitz o Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz (RH) .
Criterio de Hurwitz
Con la ayuda de la ecuación característica, haremos una serie de determinantes de Hurwitz para averiguar la estabilidad del sistema. Definimos la ecuación característica del sistema como 
Ahora hay n determinantes para la ecuación característica de orden n .
Veamos cómo podemos escribir determinantes a partir de los coeficientes de la ecuación característica. El procedimiento paso a paso para la ecuación característica de k- ésimo orden se escribe a continuación:
Determinante uno: El valor de este determinante está dado por | a 1 | donde a 1 es el coeficiente de s n-1 en la ecuación característica.
Determinante dos: El valor de este determinante está dado por 
Aquí el número de elementos en cada fila es igual al número determinante y tenemos el número determinante aquí es dos. La primera fila consta de los dos primeros coeficientes impares y la segunda fila consta de los dos primeros coeficientes pares.
Determinante tres: El valor de este determinante está dado por
Aquí el número de elementos en cada fila es igual al número determinante y tenemos el número determinante aquí es tres. La primera fila consta de los tres primeros coeficientes impares, la segunda fila consta de los tres primeros coeficientes pares y la tercera fila consta del primer elemento como cero y el resto de dos elementos como los dos primeros coeficientes impares.
Determinante cuatro: El valor de este determinante está dado por,
Aquí el número de elementos en cada fila es igual al número determinante y tenemos el número determinante aquí es cuatro. La primera fila consta de los primeros tres cuatro coeficientes, la segunda fila consta de los primeros cuatro coeficientes pares, la tercera fila consta del primer elemento como cero y el resto de tres elementos como los primeros tres coeficientes impares la cuarta fila consta del primer elemento como cero y el resto de tres elementos como los tres primeros coeficientes pares.
Siguiendo el mismo procedimiento podemos generalizar la formación determinante. La forma general del determinante se da a continuación: 
Ahora, para verificar la estabilidad del sistema anterior, calcule el valor de cada determinante. El sistema será estable si y solo si el valor de cada determinante es mayor que cero, es decir, el valor de cada determinante debe ser positivo. En todos los demás casos, el sistema no será estable.
Criterio de estabilidad de Routh
Este criterio también se conoce como Criterio de Hurwitz modificado de estabilidad del sistema. Estudiaremos este criterio en dos partes. La primera parte cubrirá la condición necesaria para la estabilidad del sistema y la segunda parte cubrirá la condición suficiente para la estabilidad del sistema. Consideremos de nuevo la ecuación característica del sistema como
1) Parte uno (condición necesaria para la estabilidad del sistema): En esto tenemos dos condiciones que se escriben a continuación:
- Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser positivos y reales.
- Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser distintos de cero.
2) Parte dos (condición suficiente para la estabilidad del sistema): construyamos primero una matriz routh. Para construir la matriz routh, siga estos pasos:
- La primera fila constará de todos los términos pares de la ecuación característica. Ordénelos desde el primero (término par) hasta el último (término par). La primera fila se escribe a continuación: a 0 a 2 a 4 a 6 …………
- La segunda fila constará de todos los términos impares de la ecuación característica. Ordénelos desde el primero (término impar) hasta el último (término impar). La primera fila se escribe a continuación: a 1 a 3 a 5 a 7 ……… ..
- Los elementos de la tercera fila se pueden calcular como:
(1) Primer elemento: Multiplique un 0 con el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna (es decir, un 3 ) y luego reste esto del producto de un 1 y un 2 (donde un 2 es diagonalmente elemento opuesto de la siguiente columna) y luego finalmente dividir el resultado para obtener un 1 . Matemáticamente escribimos como primer elemento
(2) Segundo elemento: Multiplique un 0 con el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna (es decir, un 5 ) y luego reste esto del producto de un 1 y un 4 (donde, un 4 es el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna siguiente). ) y finalmente dividir el resultado para obtener un 1 . Matemáticamente escribimos como segundo elemento 
De manera similar, podemos calcular todos los elementos de la tercera fila.
(d) Los elementos de la cuarta fila se pueden calcular usando el siguiente procedimiento:
(1) Primer elemento: Multiplique b 1 con el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna (es decir, a 3) luego reste esto del producto de a 1 y b 2 (donde, b 2 es el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna) y luego finalmente divida el resultado para obtener con b 1 . Matemáticamente escribimos como primer elemento 
(2) Segundo elemento: Multiplica b 1 con el elemento diagonalmente opuesto de la siguiente columna (es decir, a 5 ) y luego reste esto del producto de a 1 y b 3 (donde, b 3 es diagonalmente opuesto elemento de al lado de la siguiente columna) y luego finalmente dividir el resultado para obtener con un 1 . Matemáticamente escribimos como segundo elemento
Del mismo modo, podemos calcular todos los elementos de la cuarta fila.
Del mismo modo, podemos calcular todos los elementos de todas las filas.
Criterios de estabilidad Si todos los elementos de la primera columna son positivos, el sistema será estable. Sin embargo, si alguno de ellos es negativo, el sistema será inestable.
Ahora hay algunos casos especiales relacionados con los Criterios de estabilidad de Routh que se analizan a continuación:
(1) Caso uno: Si el primer término en cualquier fila de la matriz es cero mientras que el resto de la fila tiene al menos un término distinto de cero.
En este caso asumiremos un valor muy pequeño (ε) que tiende a cero en lugar de cero. Reemplazando cero con (ε) calcularemos todos los elementos de la matriz de Routh. Después de calcular todos los elementos, aplicaremos el límite en cada elemento que contenga (ε). Al resolver el límite en cada elemento, si obtenemos un valor límite positivo, diremos que el sistema dado es estable; de lo contrario, en todas las demás condiciones, diremos que el sistema dado no es estable.
(2) Segundo caso:Cuando todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero. En este caso podemos decir que el sistema tiene síntomas de estabilidad marginal. Primero entendamos el significado físico de tener todos los elementos cero de cualquier fila. El significado físico es que hay raíces simétricamente ubicadas de la ecuación característica en el plano s. Ahora, para averiguar la estabilidad en este caso, primero encontraremos la ecuación auxiliar. La ecuación auxiliar se puede formar usando los elementos de la fila justo encima de la fila de ceros en la matriz de Routh. Después de encontrar la ecuación auxiliar diferenciaremos la ecuación auxiliar para obtener elementos de la fila cero. Si no hay cambio de signo en la nueva matriz de routh formada mediante el uso de una ecuación auxiliar, entonces decimos que el sistema dado es estable limitado.
