Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz

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El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas dinámicos. Este criterio se utiliza para determinar la estabilidad de un sistema lineal y se basa en la construcción de una tabla que lleva el nombre de sus creadores, el matemático estadounidense Edward Routh y el ingeniero eléctrico alemán Adolf Hurwitz.

La tabla de Routh-Hurwitz es una herramienta útil para determinar la estabilidad de un sistema lineal en el dominio del tiempo y puede ser utilizada para determinar la estabilidad de sistemas con múltiples polos y ceros. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una de las herramientas más utilizadas en la teoría de control y es esencial para el diseño y análisis de sistemas de control.

En este artículo, se presentará una introducción detallada sobre el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, se explicará su funcionamiento y se mostrarán algunos ejemplos que ilustren su aplicación. Además, se discutirán algunos de los beneficios y limitaciones del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para el análisis de sistemas dinámicos.

Funciones de transferencia

Las funciones de transferencia son una herramienta esencial en el análisis de sistemas dinámicos. Estas funciones describen cómo un sistema responde a una entrada específica y se representan como una relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.

Las funciones de transferencia son especialmente útiles para el análisis de sistemas lineales, ya que estos sistemas tienen una propiedad fundamental llamada superposición. La superposición significa que si una entrada se descompone en varias entradas más pequeñas, la salida será la suma de las salidas individuales de cada una de las entradas más pequeñas.

Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una técnica utilizada para determinar la estabilidad de un sistema dinámico a partir de su función de transferencia. La técnica se basa en la construcción de una tabla, conocida como la tabla de Routh, que permite determinar el número de raíces del polinomio característico del sistema que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.

La estabilidad de un sistema dinámico depende de la ubicación de las raíces del polinomio característico en el plano complejo. Si todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo, el sistema es estable. Si alguna raíz se encuentra en el semiplano derecho, el sistema es inestable. Si alguna raíz se encuentra en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable.

La tabla de Routh es una herramienta útil para determinar la estabilidad de un sistema dinámico, ya que permite hacerlo de manera eficiente y sin necesidad de calcular las raíces del polinomio característico. La tabla se construye a partir de los coeficientes del polinomio característico y se utiliza para determinar el número de raíces en el semiplano izquierdo.

La técnica se basa en la construcción de una tabla, conocida como la tabla de Routh, que permite determinar el número de raíces del polinomio característico del sistema que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.

Estabilidad de sistemas lineales

La estabilidad de sistemas lineales es un concepto fundamental en la teoría de control automático. Un sistema lineal es estable si su respuesta a una entrada limitada permanece acotada y no crece indefinidamente con el tiempo. La estabilidad es esencial para garantizar que un sistema controlado tenga un comportamiento predecible y seguro.

Tipos de estabilidad

Existen diferentes tipos de estabilidad en los sistemas lineales:

  • Estabilidad asintótica: el sistema retorna a un estado de equilibrio después de haber sido perturbado.
  • Estabilidad marginal: el sistema permanece en un estado de equilibrio, pero cualquier perturbación puede llevarlo a un estado inestable.
  • Inestabilidad: el sistema no retorna a un estado de equilibrio después de haber sido perturbado.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un método para determinar la estabilidad de sistemas lineales. Este criterio se basa en la construcción de un arreglo matricial llamado tabla de Routh-Hurwitz, que permite determinar el número de raíces del polinomio característico del sistema que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.

El polinomio característico es una expresión algebraica que describe las características dinámicas del sistema. En el caso de un sistema lineal, el polinomio característico está dado por la ecuación:

ansn + an-1sn-1 + … + a1s + a0 = 0

Donde s es la variable compleja de Laplace y los coeficientes an, an-1, …, a1, a0 son constantes.

Para construir la tabla de Routh-Hurwitz, se organizan los coeficientes del polinomio característico en filas alternas, comenzando con los coeficientes de las potencias pares y continuando con los coeficientes de las potencias impares. Por ejemplo, para el polinomio:

s4 + 3s3 + 2s2 + 4s + 1 = 0

La tabla de Routh-Hurwitz se construye de la siguiente manera:

s4 1 2
s3 3 4
s2 -2 -1
s1 -4 0
s0 -1

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz establece que un sistema lineal es estable si y solo si todos los coeficientes de la primera columna de la tabla tienen el mismo signo. Si alguno de los coeficientes tiene un signo diferente, entonces el número de raíces del polinomio característico en el semiplano derecho del plano complejo es igual al número de cambios de signo en la primera columna.

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Ejemplo

Supongamos que tenemos el siguiente sistema lineal:

2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0

Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, construimos la tabla:

s3 2 4
s2 3 5
s1 -2.5
s0 5

Como el coeficiente de la primera columna de la tercera fila tiene un signo diferente, sabemos que el sistema tiene un par de raíces en el semiplano derecho del plano complejo. Por lo tanto, el sistema es inestable.

Conclusión

Métodos para determinar estabilidad

La estabilidad es una propiedad importante en los sistemas dinámicos, ya que representa la capacidad de un sistema para mantenerse en su estado de equilibrio o para volver a él después de una perturbación externa. Los métodos para determinar la estabilidad de un sistema son variados, y uno de los más utilizados es el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.

Método de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es un método algebraico que utiliza un polinomio característico para determinar la estabilidad de un sistema. El polinomio característico se obtiene a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema y representa las raíces del polinomio como los valores propios del sistema.

Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, se sigue los siguientes pasos:

  1. Se escribe el polinomio característico del sistema.
  2. Se construye la tabla de Routh utilizando los coeficientes del polinomio.
  3. Se analiza la tabla de Routh para determinar la estabilidad del sistema.

La tabla de Routh se construye de la siguiente manera:

  1. Se escriben los coeficientes del polinomio en la primera fila de la tabla.
  2. Se calculan los coeficientes de la segunda fila utilizando las siguientes fórmulas:
    • b1 = a2
    • b2 = a4
    • b3 = (a2a5 – a4a3)/b2
    • b4 = (a4a5 – a6a3)/b2
  3. Se repiten las fórmulas para las filas siguientes hasta completar la tabla.
  4. Se analiza la tabla para determinar la estabilidad del sistema. Si todos los elementos de la primera columna son mayores que cero, entonces el sistema es estable. Si hay algún elemento negativo, entonces el sistema es inestable. Si hay algún elemento cero, entonces se debe analizar la tabla de la fila anterior para determinar la estabilidad del sistema.

Ejemplo

Para ilustrar el método de Routh Hurwitz, se considera el siguiente sistema:

G(s) = (s+1)(s+3)/(s-2)(s-4)

El polinomio característico del sistema es:

s4 – 6s3 + 5s2 + 44s – 48

La tabla de Routh correspondiente es:

1 5 -48
-6 44
30 0
44

Como todos los elementos de la primera columna son mayores que cero, el sistema es estable.

Conclusión

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es un método algebraico útil para determinar la estabilidad de un sistema dinámico. A través de la construcción de la tabla de Routh, es posible analizar las raíces del polinomio característico y determinar si el sistema es estable o inestable. Este método es ampliamente utilizado en la teoría de control y en la ingeniería en general.

Criterio de Routh Hurwitz

El criterio de Routh Hurwitz es una herramienta matemática muy importante en el análisis de sistemas dinámicos. Este criterio se utiliza para determinar si un sistema es estable o inestable. El criterio se basa en la construcción de un polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del polinomio característico del sistema.

Polinomio característico

Antes de explicar el criterio de Routh Hurwitz, es importante comprender qué es el polinomio característico. El polinomio característico de un sistema dinámico es una ecuación polinómica que se obtiene a partir de la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema. El polinomio característico se utiliza para determinar las raíces del sistema, que son los valores de la variable independiente que hacen que la ecuación diferencial sea igual a cero.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

y» + 2y’ + 5y = 0

El polinomio característico de este sistema es:

s^2 + 2s + 5 = 0

Donde s es la variable independiente.

Construcción del polinomio auxiliar

Una vez que se tiene el polinomio característico del sistema, se utiliza el criterio de Routh Hurwitz para determinar si el sistema es estable o inestable. El criterio se basa en la construcción de un polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del polinomio característico. El polinomio auxiliar se construye de la siguiente manera:

  1. Se escriben los coeficientes del polinomio característico en una tabla, comenzando por el coeficiente de mayor grado.
  2. Se agrupan los coeficientes en parejas.
  3. Se calculan los coeficientes de la primera fila de la tabla auxiliar a partir de las parejas de coeficientes.
  4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que se hayan calculado todos los coeficientes de la tabla auxiliar.

Por ejemplo, si tenemos el polinomio característico:

s^3 + 3s^2 + 3s + 1 = 0

La tabla auxiliar se construiría de la siguiente manera:

s^3 s
3 1
2 0
1 0
1 0

La primera fila de la tabla auxiliar se calcula a partir de las parejas de coeficientes:

s^3 + 3s^2 + 3s + 1 = 0

s^2: (1)(3) – (3)(0) = 3

s^1: (3)(1) – (1)(0) = 3

s^0: (1)(0) – (3)(0) = 0

Criterio de estabilidad

Una vez que se ha construido la tabla auxiliar, se utiliza el criterio de Routh Hurwitz para determinar si el sistema es estable o inestable. El criterio se basa en el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla auxiliar. Si el número de cambios de signo es igual al número de raíces del polinomio característico con parte real positiva, entonces el sistema es inestable. Si el número de cambios de signo es menor que el número de raíces con parte real positiva, entonces el sistema es estable. Si el número de cambios de signo es igual a cero, entonces el criterio no se puede aplicar y se debe utilizar otro método para determinar la estabilidad del sistema.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente tabla auxiliar:

<

Teorema de Routh Hurwitz

El Teorema de Routh Hurwitz es una herramienta muy útil en el análisis de sistemas dinámicos. Este teorema nos permite determinar si un sistema es estable o inestable, lo que es fundamental en el diseño de sistemas de control.

Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz establece que un sistema es estable si todos los coeficientes de su ecuación característica tienen el mismo signo. Si existen coeficientes con signos diferentes, entonces el sistema es inestable.

Para entender mejor el criterio de estabilidad, es importante conocer algunos conceptos básicos:

Coeficiente: Es un número que acompaña a una variable en una expresión algebraica.

Ecuación característica: Es una ecuación que se obtiene a partir de la función de transferencia del sistema y que nos permite determinar sus polos y ceros.

Polos: Son los valores de la variable compleja s que hacen que la función de transferencia se haga infinita.

Ceros: Son los valores de la variable compleja s que hacen que la función de transferencia se haga cero.

Una vez que conocemos estos conceptos, podemos utilizar el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz para determinar si un sistema es estable o inestable. Para ello, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1:

Escribimos la ecuación característica del sistema.

Paso 2:

Escribimos la tabla de Routh asociada a la ecuación característica.

La tabla de Routh es una tabla que se construye a partir de los coeficientes de la ecuación característica. Para ello, se escriben los coeficientes en filas alternas y se calculan los elementos restantes de la tabla mediante una serie de operaciones matemáticas.

Paso 3:

Analizamos la tabla de Routh.

Si todos los elementos de una columna tienen el mismo signo, entonces el sistema es estable. Si hay elementos con signos diferentes, entonces el sistema es inestable.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la siguiente ecuación característica:

s^4 + 6s^3 + 11s^2 + 6s + 1 = 0

Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, primero escribimos la tabla de Routh:

1 11 1
6 6
7 1
1

Luego, analizamos la tabla de Routh. Vemos que todos los elementos de la columna 1 tienen el mismo signo (positivo), lo que indica que el sistema es estable.

Siguiendo los pasos adecuados, podemos utilizar este teorema para analizar la ecuación característica de un sistema y determinar si es estable o inestable.

Sistema de ecuaciones de Routh Hurwitz

El Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una herramienta matemática utilizada en la ingeniería y la física para determinar la estabilidad de un sistema dinámico lineal. Este criterio se basa en el análisis de un sistema de ecuaciones conocido como Sistema de ecuaciones de Routh Hurwitz.

¿Qué es un Sistema de ecuaciones de Routh Hurwitz?

Un Sistema de ecuaciones de Routh Hurwitz es un conjunto de ecuaciones lineales que se utilizan para analizar la estabilidad de un sistema dinámico lineal. Este sistema de ecuaciones se deriva a partir de un polinomio característico, que se obtiene a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema.

El polinomio característico se expresa de la forma:

P(s) = ansn + an-1sn-1 + … + a0

Donde s es la variable compleja, an, an-1, …, a0 son coeficientes constantes y n es el grado del polinomio.

El Sistema de ecuaciones de Routh Hurwitz se construye a partir de los coeficientes del polinomio característico. Se utiliza una tabla para organizar los coeficientes de la siguiente manera:

s^4 s^3 s^2 s^1 s^0
1 2 3 4 5
2

<

sn an an-2 an-4
sn-1 an-1 an-3 an-5
sn-2 b1 b2 b3
sn-3 c1 c2 c3
sn-4 d1 d2 d3

Los coeficientes b1, b2, b3, … se calculan a partir de los coeficientes an, an-2, an-4, … de la siguiente forma:

b1 = an-1

b2 = an-3 – b1 * (an-2/an-1)

b3 = an-5 – b1 * (an-4/an-1) – b2 * (an-2/an-1)

Los coeficientes c1, c2, <

Desarrollo de la matriz de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una herramienta muy útil para determinar la estabilidad de un sistema dinámico, y se basa en el análisis de los polinomios característicos de dicho sistema.

¿Qué es la matriz de Routh Hurwitz?

La matriz de Routh Hurwitz es una tabla que se construye a partir de los coeficientes del polinomio característico de un sistema dinámico, y que permite determinar si dicho sistema es estable o no.

Desarrollo de la matriz

El proceso para desarrollar la matriz de Routh Hurwitz es el siguiente:

  1. Se escribe el polinomio característico del sistema en orden descendente de potencias de la variable.
  2. Se construye la primera fila de la matriz, tomando los coeficientes de las potencias pares del polinomio.
  3. Se construye la segunda fila de la matriz, tomando los coeficientes de las potencias impares del polinomio.
  4. A partir de la tercera fila, se calculan los elementos de la matriz a través de las siguientes fórmulas:
    • Elemento (i,j) = ((i-1) * Elemento (i-2, j+1) – Elemento (i-2, j) * Coeficiente i) / Coeficiente (i-1)
    • Si algún coeficiente de la matriz es cero, se debe cambiar por una cantidad muy pequeña (por ejemplo, 0.0001) para evitar divisiones por cero.

Ejemplo

Para ilustrar el proceso de construcción de la matriz de Routh Hurwitz, consideremos el siguiente polinomio característico:

P(s) = s^4 + 3s^3 + 2s^2 + 5s + 1

La matriz de Routh Hurwitz correspondiente sería la siguiente:

1 2
3 5
11/3 1
-1.5 0

Para determinar la estabilidad del sistema, se deben analizar los signos de los elementos de la primera columna de la matriz de Routh Hurwitz. Si todos los elementos son positivos, el sistema es estable; si alguno es negativo, el sistema es inestable. En este caso, como el primer elemento de la primera columna es positivo, podemos concluir que el sistema es estable.

Desarrollo de la matriz de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una herramienta muy útil para determinar la estabilidad de un sistema dinámico, y se basa en el análisis de los polinomios característicos de dicho sistema.

¿Qué es la matriz de Routh Hurwitz?

La matriz de Routh Hurwitz es una tabla que se construye a partir de los coeficientes del polinomio característico de un sistema dinámico, y que permite determinar si dicho sistema es estable o no.

Desarrollo de la matriz

El proceso para desarrollar la matriz de Routh Hurwitz es el siguiente:

  1. Se escribe el polinomio característico del sistema en orden descendente de potencias de la variable.
  2. Se construye la primera fila de la matriz, tomando los coeficientes de las potencias pares del polinomio.
  3. Se construye la segunda fila de la matriz, tomando los coeficientes de las potencias impares del polinomio.
  4. A partir de la tercera fila, se calculan los elementos de la matriz a través de las siguientes fórmulas:
    • Elemento (i,j) = ((i-1) * Elemento (i-2, j+1) – Elemento (i-2, j) * Coeficiente i) / Coeficiente (i-1)
    • Si algún coeficiente de la matriz es cero, se debe cambiar por una cantidad muy pequeña (por ejemplo, 0.0001) para evitar divisiones por cero.

Ejemplo

Para ilustrar el proceso de construcción de la matriz de Routh Hurwitz, consideremos el siguiente polinomio característico:

P(s) = s^4 + 3s^3 + 2s^2 + 5s + 1

La matriz de Routh Hurwitz correspondiente sería la siguiente:

1 2
3 5
11/3 1
-1.5 0

Para determinar la estabilidad del sistema, se deben analizar los signos de los elementos de la primera columna de la matriz de Routh Hurwitz. Si todos los elementos son positivos, el sistema es estable; si alguno es negativo, el sistema es inestable. En este caso, como el primer elemento de la primera columna es positivo, podemos concluir que el sistema es estable.

Aplicaciones del Criterio de Routh Hurwitz

El Criterio de Routh Hurwitz es una herramienta matemática que permite analizar la estabilidad de un sistema dinámico. Este criterio se basa en la construcción de una tabla o matriz llamada tabla de Routh, a partir de la cual se pueden obtener conclusiones sobre la estabilidad del sistema.

Aplicaciones del Criterio de Routh Hurwitz:

1. Diseño de controladores:

El criterio de Routh Hurwitz es una herramienta útil en el diseño de controladores para sistemas de control de retroalimentación. El controlador se diseña de tal manera que el sistema en lazo cerrado sea estable, lo que se logra al garantizar que todos los polos del sistema estén en el semiplano izquierdo del plano complejo. El criterio de Routh Hurwitz permite analizar la estabilidad del sistema y determinar si es necesario ajustar el controlador para garantizar la estabilidad.

2. Análisis de circuitos eléctricos:

El criterio de Routh Hurwitz se utiliza en el análisis de circuitos eléctricos para determinar la estabilidad de los circuitos. En un circuito eléctrico, se puede modelar la dinámica del circuito como un sistema de ecuaciones diferenciales. El criterio de Routh Hurwitz se puede utilizar para determinar la estabilidad del circuito a través del análisis de la función de transferencia.

3. Ingeniería mecánica:

El criterio de Routh Hurwitz también tiene aplicaciones en ingeniería mecánica. Por ejemplo, se puede utilizar para analizar la estabilidad de un sistema mecánico como un péndulo invertido o un sistema de control de vibraciones.

4. Análisis de sistemas biológicos:

El criterio de Routh Hurwitz se puede aplicar en el análisis de sistemas biológicos, como modelos matemáticos de la dinámica de poblaciones y la dinámica del crecimiento celular. En estos casos, se puede utilizar el criterio de Routh Hurwitz para analizar la estabilidad de los modelos matemáticos y determinar si los sistemas biológicos son estables o no.

5. Análisis de sistemas económicos:

El criterio de Routh Hurwitz también se puede aplicar en el análisis de sistemas económicos, como modelos matemáticos de la economía. Por ejemplo, se puede utilizar para analizar la estabilidad de un modelo matemático de la inflación o del crecimiento económico.

Se utiliza para analizar la estabilidad de sistemas dinámicos y para diseñar controladores estables para sistemas de control de retroalimentación.

En conclusión, el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas dinámicos lineales. Este método nos permite determinar la estabilidad de un sistema sin la necesidad de resolver complejas ecuaciones diferenciales. Además, nos proporciona información valiosa sobre el número de raíces en el semiplano izquierdo, lo que nos permite predecir el comportamiento del sistema en diferentes situaciones. En resumen, el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es una técnica poderosa y útil que todo ingeniero debe conocer para analizar y diseñar sistemas estables y confiables.

En conclusión, el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una herramienta fundamental en el análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos lineales. Este criterio utiliza la construcción de un polinomio auxiliar para determinar la estabilidad de un sistema a partir de la ubicación de sus raíces en el plano complejo. La aplicación de este criterio permite identificar rápidamente si un sistema es estable, marginalmente estable o inestable, lo que es esencial en el diseño y control de sistemas dinámicos. En resumen, el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una técnica poderosa y versátil que se utiliza ampliamente en la teoría de control y en otras áreas de la ingeniería.

JORGE CABRERA BERRÍOS Administrator
Ingeniero Electrónico por la UNI, con maestría y doctorado por la University of Electro-Communications (Japón).

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